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a bを実数とする2次方程式x^2+ax+b=0のひとつの解が、2+3iであるとき、定数a,bと他の解をもとめよ

この問題で、解説には「他の解を p+qiとする」とかいていますが
なぜpだけでなく、iもいれて、複素数だと予想できるのですか

後、このばあい、p+qiを、解と係数の関係から、係数比較をしてもとめるらしいのですが、
係数比較をするということは、恒等式だということですよね?
なぜ作った式が恒等式だとわかるのですか。

恒等式になる定義とは一体なんなんですか

A 回答 (2件)

y=x^2+ax+b のグラフを考えてみます。


このグラフとx軸(つまりy=0)との交点の数が、
方程式 x^2+ax+b=0 の実数解の個数となります。
そのパターンは下記の3とおりです。
x軸との交点の数=2:実数解2個
x軸との交点の数=1:実数解2個(ただし重解)
x軸との交点の数=0:実数解0個、複素数解2個

今回の場合、1個の解が 2+3i という複素数(実数ではない)であることがわかっています。
ということは、方程式 x^2+ax+b=0 は実数解を持たず(当該のグラフはx軸との交点を持たない)、
既知の解である 2+3i を含めて2個の複素数解を持つことがわかります。

以上の議論においては、「n次方程式の解は、実数か複素数かはわからないが、必ずn個ある」ことを
前提としています。
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まず「複素数と予想できる」のは「代数学の基本定理」から.



でなぜ「恒等式」なのかといえば, もちろん因数定理.
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