素数の問題

次のような素数の問題

（１）n^3 + 1 = p をみたす自然数ｎと素数ｐの組をすべて
　　　もとめよ。

（２）n^3 + 1 = p^2 をみたす自然数ｎと素数ｐの組をすべて
　　　もとめよ。

を聞かれ、
（１）n=1 p=2　(左辺を因数分解して。)
(2) n=2 p=3 という解がでました。

これであっているのか自信がありません。
どなたか教えていただけないでょうか。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/12 17:31

答は合っていると思います．

(2)の問題のｐは素数でなくて自然数でもＯＫのようですが...

koukou さんが解かれた過程と考え方を書かれて，
どこが自信がないのか明確にされた方がアドバイスしやすいと思いますよ．
あるいは，そういう作業をしている内に「やっぱりこれでよかった」
と自信が出るかも知れませんね．

No.2 回答者： rei00 回答日時： 2001/05/12 17:49

すみません。

回答でも何でもないんですが一言。

興味があって解こうとしたんですが，「すべて求めよ」の「すべて」に引っかかってダメでした。

siegmund さんがおっしゃっている様に，解答をお示し下さいませんか。特に，それが「すべて」かどうかをどうやって判断したのかと一緒に。

って，回答者が質問しちゃダメですか・・・。

No.3 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/05/12 18:05

rei00さんの杜折、問題は「すべて」ですね。

言い方を変えれば、他の組が存在しないことを証明しないといけない・・。ちょっと考えてみます。

No.4 回答者： Nickee 回答日時： 2001/05/12 18:08

あってると思いますよ。

( ^ ^ )
素数はその数でしか割れないものだから、左辺を因数分解すると、(n+1)(n~2+n-1)
って出てくるから、どちらかが、1でなければならない。計算すると、0もでてくるけど、自然数ではないし、右辺が1となって、素数でもない。
また、2の問題では、素数を2回かけているので、1の問題に(n+1)=(n~2-n+1)という条件が加わってくる。ここの場合n=0はさっきの理由同様、n=1は右辺が+-ルート2になるのでダメ。

僕の考え方はこうですけど。参考にしてもらえれば。

No.5 回答者： rei00 回答日時： 2001/05/12 18:29

回答もせず再登場で失礼しますが，Nickee さんに一言お礼を。

ありがとうございました。お陰で納得できました。ｐが素数だから，すべても何も解はこれしかないわけですね。

ところで，失礼ですが先の回答の中の左辺の因数分解の式　(n+1)(n~2+n-1)　となっていますが，(n~2-n+1)　のタイプミスですよね。

念のため。

No.6 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/12 18:36

siegmund です．

先ほどの，(2)でｐは素数でなくても云々はちょっと間違えました．
そこは削除してください．

No.7 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/05/18 12:02

　私も「ありがとうございます」

　「素数」というのはそもそもそういうものだったですね。私はなんでそれに気づかなかったんだろう。