質問

ワイブル分布に関する確率密度関数の導出が理解できずに困っています。

まず、2母数ワイブル分布の確率密度関数を

f (N |α,β) =(α/β)*(N/β)^(α-1 )*exp{ -(N/β)^α} ・・・ (1)
N : 寿命
α : 形状母数(既知とする)
β : 尺度母数(未知とする)

とします。ここで、試験数 n 、N={N1,N2,・・・Nn}の結果が
得られた場合、βの最尤推定値Βは、

Β = { (ΣNi^α)/n }^(1/α) ・・・ (2)
[ i = 1→n ]

となります。Βは確率変数で、Βの確率密度関数を次のように表せるそうです。

f (Β) = (n^n / Γ(n) )*(α/β)*(Β/β)^(α*n-1)*exp{ -n*(Β/β)^α} ・・・ (3)
Γ(n) : ガンマ関数

(2)式の導出は何とかわかったのですが、(3)がなぜこのような式に
なるのかわかりません。(3)の導出方法をどなたか教えてください。
よろしくお願いします。

※式の誤解がないように不要な括弧を多用しており、見にくいかもしれません。
ソースは下記のPDFファイルの3ページ目(表紙・目次除く)にありますので、
そちらの方が見やすいと思います。

また、下記の資料によると、「変数2n(Β/β)^αが自由度2nのカイ二乗分布に
従う」と書かれていますが、これも良くわかりません。できれば、こちらの方も
よろしくお願い致します。

http://repository.tksc.jaxa.jp/dr/prc/japan/cont …
「宇宙航空研究開発機構研究開発資料―疲労寿命安全率に関するノート」

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回答 (1件)

次の[1][2][3]を使って計算できます。

[1] 確率密度関数の変数変換(参考を参照のこと)。
[2] N^αがガンマ分布(実は指数分布)に従う。
[3] 同一のガンマ分布に従う独立なn個の確率変数の和は、ガンマ分布に従う。


((3)式の計算)

まず、[1]を使ってN^α の確率密度関数 q(y) を計算すると、

  q(y) = β^(-α)・exp(β^(-α)・y)

となります。

 ( X = N、
   Y = N^α、
   p(x) = (α/β)*(x/β)^(α-1 )*exp{ -(x/β)^α}、
   g(y) = y^(1/α)、
   q(y) = p(g(y))・g'(y)
  とする)。

よって、N^α は、指数分布(したがってガンマ分布でもある)に従います。

次に、[3]を使って、ΣNi^α の確率密度関数 r(y) を計算すると、各 Ni が独立だという仮定の下で、

  r(y) = Γ(n)^(-1)・β^(-αn)・y^(n-1)・exp(-β^(-α)・y)

となります(ガンマ分布に従う独立な確率変数の和の確率密度関数は、いろいろなサイトに載っているので、探してみてください)。

さらに、もう一度[1]を使って B = { (ΣNi^α)/n }^(1/α) の確率密度関数 s(y) を計算すると、(3)式が得られます。

 (  X = ΣNi^α、
    Y = B、
    p(x) = r(x)、
    g(y) = n・y^α、
    s(y) = p(g(y))・g'(y)
 とする)。

( 2n(Β/β)^α がカイ二乗分布になることについて)

(3)式から、[1]のテクニックを使って、2n(Β/β)^α の確率密度関数 h(y) を計算すると、

  h(y) = 2^(-n)・Γ(n)^(-1)・y^(n-1)・exp(-y/2)

となります。
 ( X = B、
   Y = 2n(Β/β)^α、
   p(x) = (n^n / Γ(n) )*(α/β)*(x/β)^(α*n-1)*exp{ -n*(x/β)^α}、
   g(y) = (y/(2n))^(1/α)・β、
   h(y) = p(g(y))・g'(y)
  とする)。

h(y) が自由度 2n のカイ二乗分布の式に一致することから、上のことが確かめられます。

ただ、本当は、あらかじめ分かっている結果を確かめるのでなく、(3)式からカイ二乗分布が「見える」ことが求められるのでしょうけど、そこは割愛します。

(参考)確率密度関数の変数変換

X を、確率密度関数 p(x) を持つ非負値の確率変数とする。 g(y) を、y≧0 で定義された、微分可能な狭義単調増加関数であって、g(0) = 0 となるものとする。Yを、g(Y) = X となる確率変数とする。

このとき、Y は、p(g(y))・g'(y) を確率密度関数として持つ。

[証明] これは、置換積分により次の等式が成立することから得られる。ただし、a = g(b) とする。

  Pr(Y≦b) = Pr(X≦a) = ∫[0→a]p(x)dx = ∫[0→b]p(g(y))g'(y)dy

[証明終わり]

この回答へのお礼

大変丁寧な回答ありがとうございます。
調べることが多く、まだ確認途中ですが、
ramayana様のおかげで何とかわかりそうです。
本当にありがとうございました。

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