余因子 余因子展開

余因子と余因子展開について質問させて頂きます。

余因子と余因子展開では、係数がかかる点が大きな
違いだと思います。
添付画像をご参照下さい。

この、係数をかけるかかけないかの違いがあるのはなぜなのでしょうか？

決まりと言われればそれまでなのですが・・・、
余因子を計算する場合に、間違えて係数をかけてしまっていて
両者の違いが気になったため質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/11 18:33

係数？

画像が小さくてよく見えないのだけれど…

余因子展開とは、行列のひとつの行(または列)に注目すると、
行列式は、その行(または列)の各成分について一次式になる
というもの。
その際各成分に掛かる係数を、その成分の「余因子」という。
余因子展開の係数と余因子は、はじめから同じもので、
係数の違いなどありようがない。何か勘違いしているのでは？

注目した行 (ak1,ak2,ak3,ak4,…,akn) を標準基底上に
ak1(1,0,0,0,…) + ak2(0,1,0,0,…) + ak3(0,0,1,0,…) + …
と一次結合で表し、行列式が行列の各行(または列)ベクトルに
ついて線型であることを使って、線型分解する。
そこに現れる akj の係数は、もとの行列の第 k 行を
akj は 1 に、それ以外は 0 に置き換えた行列の行列式となる。
更に行基本変形を行えば、他の行の j 列成分も 0 にできる。
この行列式に行の交換、列の交換を行って、第 k 行 j 列成分の
1 を第1行1列成分へ移動すれば、交換による符号変化が (-1)^(k+j)
となって現れる。
余因子は、もとの行列から第 k 行と第 j 列を取り除いた
小行列式に、この (-1)^(k+j) を掛けたものになる。
(-1)^(k+j) は、個々の余因子にも掛かっているし、そのため、
余因子展開の係数にも含まれている。

この回答への補足

いつもご回答ありがとうございます。

detA＝
｜1 2 3｜
｜4 5 6｜
｜7 8 9｜
とすると、第1行の余因子展開は
detA＝
1｜5 6｜-2｜4 6｜+3｜4 5｜
｜8 9｜ ｜7 9｜ ｜7 8｜
となります。

detAにおける第1行と第2列の成分をa12とします。
a12の余因子をa12＾～と表します。
a12＾～＝
-｜4 6｜
|7 9｜
となります。余因子展開の場合は2がかけられますが、
余因子では2がかけられません。

この違いについて質問させて頂いたのですが、
私の余因子展開の方法が間違っているのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/06/12 22:40

No.3 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/06/11 23:22

んだ、んだ。

質問者は行列式の余韻子展開について学習中のようで、
つまりはよくわかっておまへんな。

まそれもしかたのないことで、がんばってクラハイ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/11 18:04

余因子と余因子展開の違いは「係数がかかる点」などではありません.

そう思うんだとしたら, そもそも「余因子とは何か」「余因子展開とは何か」を理解できていないということ.