線形代数の階数の問題

nを1以上の整数とする。Aをn×nの実行列とし、Iをn×nの単位行列とする。
A∧2＝Aならば、
rankA+rank(I-A)=n
が成立することを示せ。

どなたか解説お願いします。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/13 21:50

任意のベクトル x について x = Ax + (I-A)x です。

x が SpanA の元 Ax と Span(I-A) の元 (I-A)x の和で
表されたことになります。

一方、Ay = (I-A)z と置いて両辺に A を掛けると、
Ay = Oz となり、Ay = (I-A)z = 0 であったことが判ります。
よって、SpanA ∩ Span(I-A) = ｛ 0 ｝です。

以上より、SpanA と Span(I-A) は互いに補空間となっています。
両者の基底ベクトルの数を数えると、rankA + rank(I-A) = n です。