固有値を求める場合の固有方程式について質問させて頂きます。
固有値と固有ベクトルの定義は、
n×n行列Aに対して、λ∈C,x∈C^nが
Ax=λx |x≠0
を満たすとき、λをAの固有値、xをλに対するAの固有ベクトルという。
固有値を求める際の固有方程式ですが、
私の手元にある参考書では、
|λI-A|=0とあります。
web等で調べると|A-λI|=0という表記もありました。
Iは単位行列を表します。
|λI-A|=0と|A-λI|=0はどちらも正しいのでしょうか?
また、なぜ等しくなるのか教えて頂けないでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
固有方程式の | | は、絶対値ではなく、行列式を表しています。
混乱するようなら、|A-λI| の代わりに、det(A-λI) と書いてもよいでしょう。
det(sM) = (sのn乗) det(M) (ただし M は n×n 行列) ですから、
-|A-λI| = |λI-A| が成り立つのは、A が奇数次の場合だけです。
いつもご回答ありがとうございます。
>-|A-λI| = |λI-A| が成り立つのは、A が奇数次の場合だけです。
理解できました。本当にありがとうございましたm(_ _)m
No.6
- 回答日時:
|sM| = (s^n)|M| は理解できたんですね?
そこへ M = A-λI, s = -1 を代入すれば、
n = 2 のとき
|λI-A| = |sM| = ((-1)^2)|M| = |M| = |A-λI|
n = 3 のとき
|λI-A| = |sM| = ((-1)^3)|M| = -|M| = -|A-λI|
です。
A No.3 補足では n が偶数の場合が理解でいないとのこと。
A No.5 補足では n が奇数の場合を計算ミスしているようですが、
疑問の点はどこにあるのでしょうか?
また、
|λI-A| = |A-λI| にせよ 、
|λI-A| = -|A-λI| にせよ、
|λI-A| = 0 と |A-λI| = 0 が同値になることに
変わりはありません。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。
>|λI-A| = 0 と |A-λI| = 0 が同値になることに
>変わりはありません。
理解できました。すいません。ノートに自分で書き出すと
できました。
計算で一点わからない点があるのですが、
-|A-λI|= |λI-A|は成り立ちますよね?
固有方程式の||は行列式を表すのですよね?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.5
- 回答日時:
←A No.3 補足
う~ん?
|sM| = (s^n)|M| が理解できて、
|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI| は理解できない理由が想像つきません。
しかも、n の偶奇で理解不理解が変わる理由は何でしょう?
|sM| = s|M| ではなく |sM| = (s^n)|M| ですから、
M = A-λI, s = -1 を代入すれば、
|λI-A| = |sM| = (s^n)|M| = ((-1)^n)|A-λI| となります。
代入しただけです。
前述のとおり、
M のひとつの行を s 倍する毎に |M| は s 倍になるので、
n 本の行すべてが s 倍された sM は、行列式が s^n 倍です。
この回答への補足
いつもご回答ありがとうございます。
お手数をお掛けしてすいません。
|sM| = (s^n)|M| は行列式の定義より理解できます。
|λI-A| = |sM| = (s^n)|M|=((-1)^n)|M|
nが2×2行列のとき、
|λI-A| |=((-1)^2)|M|=|M|
nが3×3行列のとき、
|λI-A| |=((-1)3)|M|=-|M|=|A-λI|
と考えているのですが、どこが間違っているのでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.4
- 回答日時:
そもそも固有値問題って何でしたか?
xをベクトルとして
Ax = λx
を解くことでしょう?2×2にしてこれを成分・要素でかけば
A11 x1 + A 12 x2 = λ x1
A21 x1 + A 22 x2 = λ x2
という連立方程式を解くことですよね。
[1] 左辺に集めてしまえば、
(A11-λ) x1 + A 12 x2 = 0
A21 x1 + (A 22-λ) x2 = 0
意味のある解が存在するためには係数行列の行列式が0でなければならない(逆行列が存在するとx1 = 0, x2 = 0という解しかない)ので
|A - λI | = 0
[2] 右辺に集めてしまえば、
0 = (λ-A11) x1 - A 12 x2
0 = - A21 x1 + (λ-A 22) x2
同じく係数行列の行列式が0から
|λI - A | = 0
これで[1]と[2]で答えに差が出ると思いますか?
[2]にすると、行列式を計算したときにλ^2の係数が+1になるので、気分的に楽なんでしょうね。最近は[2]が増えてる気がします。
No.3
- 回答日時:
一般に、n×n行列 M とスカラー s について、
行列式は |sM| = (s^n)|M| です。
行列のひとつの行を s 倍すると
行列式の値が s 倍になることを思い出しましょう。
sM は、M の n本の行が皆 s 倍されている訳です。
M = λI-A, s = -1 の場合を考えれば、
|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI| です。
よって、|λI-A| = 0 と |A-λI| = 0 は同値
ですね?
この回答への補足
いつもご回答ありがとうございます。
>行列式は |sM| = (s^n)|M| です。
理解できます。
>M = λI-A, s = -1 の場合を考えれば、
>|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI| です。
nが偶数の場合は、|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI|が成り立つ点が
理解できません・・・
なぜ、|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI|が成り立つのでしょうか?
以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。
No.1
- 回答日時:
A,λIを三次正方行列あたりでとって、実際に計算して見ましょう。
λI-A = p とします。
A -λI = -p とします。
p = 0
-p = 0
どちらも同じ結果になりそうですよね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 2*2の行列に対して固有値の最大実部を与えるkの値を求めたい 3 2022/11/08 16:26
- 数学 連立微分方程式の解き方について 7 2022/12/16 13:39
- 数学 固有ベクトルの縦書き 3 2022/12/19 23:48
- 数学 (3)がわかりません。 (1)は固有値λ=±1 固有ベクトルは λ=1のとき (-i,1) λ=-1 2 2023/06/11 14:46
- 数学 数学の線形代数についての質問です。 0 1 0 0 0 1 1 0 0 の3×3の行列をAとする時、 1 2023/07/09 01:28
- 物理学 スピン 行列表示 固有状態 測定値 1 2022/08/16 18:39
- 数学 問題文はa+b≠2のとき A= a 1-a 1-b b 固有ベクトルを求める 固有値λ=1,a+b- 3 2023/04/18 23:41
- 数学 行列(I-βG)の逆行列が存在することの証明について 1 2023/06/23 01:33
- 数学 線形代数 A= 2 -1 1 ( 0 0 2 ) 0 -1 3 の固有値と固有空間を使って、この行列 2 2023/02/03 12:39
- 数学 ジョルダン標準形 1 2022/06/22 05:22
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
線形代数です。 正方行列A,BがA...
-
3行3列の行列の和と積の計算...
-
基本行列の積
-
単因子の計算問題
-
逆行列(LU分解)を求める数値的...
-
ヤコビアン行列の問題なのです...
-
数学「行列」の実生活への応用
-
Aが2次正方行列とする。 (1)A...
-
回転した楕円の長径短径、媒介...
-
複素数を含む行列の逆行列は存...
-
線形代数学のユニタリ行列の質問
-
行列の平方根?のようなもの
-
べき等行列の問題です。
-
Aはn次正方行列で、どんなn次...
-
線形代数の重要性
-
行列を分割するメリットを教え...
-
高校数学で教わる行列っていっ...
-
matlabで条件をみたしたデータ...
-
回転行列の4行4列の意味について
-
diag(-1,1)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
3行3列の行列の和と積の計算...
-
数学「行列」の実生活への応用
-
matlabで条件をみたしたデータ...
-
線形代数です。 正方行列A,BがA...
-
複素数を含む行列の逆行列は存...
-
回転行列の4行4列の意味について
-
3行3列の逆行列(ルートを含む)
-
高校数学で教わる行列っていっ...
-
行列と行列式の違いは?
-
正方行列の最小多項式の求め方は?
-
回転した楕円の長径短径、媒介...
-
表計算で行列の積を計算する方...
-
不完全LU分解前処理つき双共...
-
4×4行列の逆行列について
-
行列の式の英語読み方について
-
ラウスの安定判別法
-
Statviewでの解析で
-
Zパラメータの求め方
-
にゃんこ先生の自作問題、ヴァ...
-
行列式計算で答が二通りでてしまう
おすすめ情報