不定形について

１^∞ってなんで不定形なんですか？1＾∞＝１だと思うんですが・・・。

お願いします。

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/22 20:02

←A No.6 補足

e^x log は、でてきてませんよ。

exp x が e^x と同じなのであって、
exp だけで e^x なのではありません。
exp log lim b[n]^a[n] は、括弧を省略していますが、
= exp( log( lim b[n]^a[n] )) = e^( log( lim b[n]^a[n] ))
を表す式です。
log x とか、sin x とか、こういう書きかたをしますよね？

exp と log は、互いに逆関数なので、
x = e^(log x) が成り立ちます。
x = lim b[n]^a[n] を代入すれば、
lim b[n]^a[n] = exp( log( lim b[n]^a[n] )) です。

log が連続関数であるため、exp( ) の中身を更に
log( lim b[n]^a[n] ) = lim log( b[n]^a[n] )
と変形できます。

最後の log b[n]^a[n] = a[n] log b[n] は、
対数法則です。

No.8 回答者： cockpit 回答日時： 2012/06/19 18:35

文字が一部みにくくなりごめんなさい。

>(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？

n ≧ 2 とすると
2 ≦ k ≦ n です。

2 ≦ k より
1 ≦ k-1
i = 1, …, k-1　に対し、1-i/n が正になることを言います。

i ≦ k-1 < k
k ≦ n より
i < n　　　
n( > 0) で割って
i/n < n/n = 1
-1倍して
-i/n > -1
1-i/n > 0

No.7 回答者： cockpit 回答日時： 2012/06/19 18:31

>(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？

n ≧ 2 とすると
2 ≦ k ≦ n です。

2 ≦ k より
1 ≦ k-1
i = 1, …, k-1　に対し、1-i/n が正になることを言います。

i ≦ k-1 < k
k ≦ n より
i < nn( > 0) で割って
i/n < n/n = 1　　　　-1倍して
-i/n > -1
1-i/n > 0

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/18 14:54

exp x は e^x と同じ関数の別表記です。

log との関係で解かるかと思いましたが…

この回答への補足

「lim b[n]^a[n] = exp log lim b[n]^a[n] = exp lim log b[n]^a[n]
= exp lim (a[n] log b[n]) となるからです。」
のところの式変形がわかりません。なぜe^xlogがでてくるんですか？

補足日時：2012/06/20 13:18

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/16 14:05

1^∞=1 ってのは、lim a[n] = ∞ のとき lim 1^a[n] = 1 のことでしょう？

それは間違っていませんが、
lim b[n] = 1 ならば、lim b[n]^a[n] は不定型です。

lim b[n]^a[n] = exp log lim b[n]^a[n] = exp lim log b[n]^a[n]
= exp lim (a[n] log b[n]) となるからです。
lim log b[n] = log lim b[n] = 0 ですから、
lim (a[n] log b[n]) は ∞・0 型の不定型になっています。
No.3 さんが書いているのは、そういうこと。

b[n] が定数列 1 ならば、log b[n] は定数列 0 になって、
lim (a[n] log b[n]) = 0 すなわち lim b[n]^a[n] = exp 0 = 1 になりますが、
lim b[n] = 1 以外は何も知らされていない一般の b[n] については
lim b[n]^a[n] = 1 とは限らないということです。

この回答への補足

すみません・・・、expってなんですか？

補足日時：2012/06/17 10:48

No.4 回答者： cockpit 回答日時： 2012/06/16 10:55

a[n] = (1+1/n)^n

がどんな数列になるか考えます。

2以上のすべての整数nに対してa[n]≧2が言えれば、nがどんなに大きくても（∞に行っても）
a[n]は2以上なので1には近づきません。

二項定理より
a[n]
= Σ[k=0;n]( c(n,k)*1^(n-k)*(1/n)^k )
= c(n,0)*1^n*(1/n)^0 + c(n,1)*1^(n-1)*(1/n)^1 + Σ[k=2;n]( c(n,k)*(1/n^k) )
= 1 + n*(1/n) + Σ[k=2;n]( n(n-1)(n-2)*…*( n-(k-1) )/( k！* n^k )
= 1 + 1 + Σ[k=2;n]( (1/k！)*( n/n*(n-1)/n*(n-2)/n*…*( n-(k-1) )/n )
= 2 + Σ[k=2;n]( (1/k！)*( 1*(1-1/n)*(1-2/n)*…*(1-(k-1)/n) )
(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正だからΣ[k=2;n](…)は常に正
従って
a[n] = 2 + Σ[k=2;n](…) ≧ 2

よってn→∞にしても
(1+1/n)^n ≧ 2


注)
lim[n→∞]( 1^n ) = 1　
　
lim[n→∞]( [nの式] ) = 0のとき
lim[n→∞]( ( 1+ [nの式] )^n ) は不定形

この回答への補足

(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？

補足日時：2012/06/17 12:16

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2012/06/16 01:34

0×∞ってなんで不定形なんですか？0×∞＝0だと思うんですが・・・

No.2 回答者： ta20000005 回答日時： 2012/06/16 01:21

ネイピア数eの定義をどう習いましたか？eの定義のひとつが

e=lim[n→∞](1+(1/n))^n
です。別の定義で習っているならその定義に合わせて証明することになります。

No.1 回答者： ta20000005 回答日時： 2012/06/16 00:26

lim[n→∞]a_n=1

lim[n→∞]b_n=∞
である数列{a_n},{b_n}に対して必ず
lim[n→∞]a_n^b_n=α
となるような極限αがあるなら便宜的に
1^∞=α
と書くことはあるかもしれませんが、
たとえば
a_n=1
b_n=n
なら
lim[n→∞]a_n^b_n=1
だし、
a_n=1+(1/n)
b_n=n
なら
lim[n→∞]a_n^b_n=e
と異なるので、不定形となります。

この回答への補足

後半の「a_n=1+(1/n)
b_n=n
なら
lim[n→∞]a_n^b_n=e
と異なるので、不定形となります。」のところがよくわかりません。１＾∞になると思うんですが・・・。また、eというのはここではネイピア数ですか？なぜそれが出てくるのですか？
お願いします。

補足日時：2012/06/16 00:46