数学の微分の問題について教えてください。

双曲線 xy=k (K>0) 上の任意の点P(x0, y0) における接線がx軸、y軸と交わる点をそれぞれQ、Rとします。そのとき、

(1) 点Pは線分QRの中点であることを証明してください。

(2) 原点をOとすれば、三角形OQRの面積は点Pの位置に関係なく一定であることを証明してください。

この問題のヒントが、

点P(x0,y0) における接線の方程式　y-y0=f'(x0)(x-x0)
この接線の方程式で、y=0 とおいて、
点Qのx座標xQ が求まる　Q(xQ,0)

この接線の方程式で　x=0 とおいて
点Rのy座標yR が求まる　R(0,yR)

です。
わかりづらいですが
x0、y0の0は小さい文字のつもりです。

お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/20 16:37

＞双曲線 xy=k (K>0) 上の任意の点P(x0, y0) における接線がx軸、y軸と交わる点をそれぞれQ、Rとします。

＞そのとき、
Ｐは、ｘｙ＝ｋ上の点だから、ｘ0ｙ0＝ｋ　
ｘｙ＝ｋ＞０より、ｙ＝ｋ／ｘ，ｙ'＝－ｋ／ｘ^2　接線の傾き＝－ｋ／ｘ0^2
Ｐにおける接線は、ｙ－ｙ0＝（－ｋ／ｘ0^2）（ｘ－ｘ0）……（ア）
＞(1) 点Pは線分QRの中点であることを証明してください。
（ア）で、ｙ＝０とおくと、－ｙ0＝（－ｋ／ｘ0^2）（ｘ－ｘ0）
ｘ－ｘ0＝（ｘ0^2／ｋ）×ｙ0＝（ｘ0^2／ｋ）×（ｋ／ｘ0）＝ｘ0　より、ｘ＝２ｘ0
よって、Ｑ（２ｘ0，０）
（ア）で、ｘ＝０とおくと、ｙ－ｙ0＝（－ｋ／ｘ0^2）×（－x0）＝ｋ／ｘ0＝ｙ0より、ｙ＝２ｙ0
よって、Ｒ（０，２ｙ0）
ＱＲの中点の
ｘ座標＝(1/2)（２ｘ0＋０）＝ｘ0，ｙ座標＝(1/2)（０＋２ｙ0）＝ｙ0
以上より、Ｐは、ＱＲの中点

＞(2) 原点をOとすれば、三角形OQRの面積は点Pの位置に関係なく一定であることを証明してください。
△ＯＱＲ＝(1/2)×ＯＱ×ＯＲ＝(1/2)×２ｘ0×２ｙ0＝２ｘ0ｙ0＝２ｋ
よって、三角形OQRの面積は点Pの位置に関係なく一定である。
（ｘｙ＝ｋ＞０より、ｘ＞０，ｙ＞０のときも、ｘ＜０，ｙ＜０のときも同じです。）

どうでしょうか？

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/20 16:27

(1)

ヒント通りにすればQ(xQ,0),R(0,yR)
なのでQRの中点M(xM,yM)は
(xM,yM)=(xQ/2,yR/2)
と求まります。
この中点M(xQ/2,yR/2)がP(x0,y0)と一致することを示せば良いです。

>点P(x0,y0) (x0≠0,y0≠0)における接線の方程式
　y-y0=f'(x0)(x-x0)
　xy=k(k＞0)
　y=f(x)=k/x
　f'(x)=-k/x^2
　y0=f(x0)=k/x0, f'(x0)=-k/x0^2 より
接線の方程式は
　y-(k/x0)=-(k/x0^2)(x-x0)
　∴y=-(k/x0^2)x+(2k/x0)
従って xQ=2x0, yR=2k/x0 ...(☆)
　∴M(x0,k/x0)=M(x0,y0)
よって,QRの中点M(x0,y0)は接点の座標P(x0,y0)と同じ点である。

(2)
(1)より
　△OQRの面積S=OQ*OR/2=xQ*yR/2
(☆)より
　S=2x0*(2k/x0)/2=2k(一定)
（証明終り）

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/06/20 16:13

点P(x0,y0) における接線の方程式　y-y0=f'(x0)(x-x0)

＞
y=f(x)のx=x0での接線の傾斜はf'(x0)です。そしてP(x0, y0)
での接線の方程式をy=f'(x0)x+Aとおくと、Pの座標を入れて
y0=f'(x0)x0+AよりA=y0-f'(x0)x0が得られ、この接線の方程式は
y=f'(x0)x+y0-f'(x0)x0=f'(x0)(x-x0)+y0となるので、移項すると
ヒントの式になります。

この接線の方程式で、y=0 とおいて、点Qのx座標xQ が求まるQ(xQ,0)
＞
この接線がx軸と交わる点がQですから、その点のy座標は0。Qの
x座標をxQとすると、接線の方程式でy=0としたときのx、すなわち
y-y0=f'(x0)(x-x0)でy=0として-y0=f'(x0)(x-x0)から
(x-x0)=-y0/f'(x0)、x=x0-y0/f'(x0)ですからxQ=x0-y0/f'(x0)と
なります。Q=(x0-y0/f'(x0),0)です。

この接線の方程式で　x=0 とおいて点Rのy座標yR が求まるR(0,yR)
＞
この接線がy軸と交わる点がRですから、その点のx座標は0。Rの
y座標をyRとすると、接線の方程式でx=0としたときのy、すなわち
y-y0=f'(x0)(x-x0)でx=0としてy=y0-f'(x0)x0ですから、
yR=y0-f'(x0)x0となります。R=R(0,y0-f'(x0)x0)です。

あとはxy=k,y=f(x)=k/x,f'(x)=dy/dx=-k/x^2,f'(x0)=-k/(x0)^2
から証明できると思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/20 16:09

何が分からないんでしょうか?