オイラーの公式の証明をしたいのですが、マクローリン展開を用いた証明方法がわかりません。

もし、証明がわかる方いましたら教えて下さい。
また、わかりやすいサイトなどでも構わないです。

すみませんが宜しくお願いします。

A 回答 (5件)

オイラーの時代には、複素関数についても、級数の収束性についても、


今日のような解析学の基礎が整備されていなかったし、
オイラー自身がそれを完成させたという話もありません。
(ほぼ今日の解析学に近いものを使っていた とは信じられていますが。)
オイラーとコーシーの生没年を確認してみるとよいかもしれませんね。

オイラーの等式についても、オイラー自身は成立を予想しただけで、
証明されたのは後日のことです。(オイラー本人には、式変形に
証明が必要という概念すらなかったのではないかと思われます。)
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オイラー入門


出版社: シュプリンガーフェアラーク東京 (2004/07)
ISBN-10: 4431710795
ISBN-13: 978-4431710790
発売日: 2004/07
を読むことをお勧めします。

バーゼル問題の解き方とか、オイラーの公式とか cosx=2 の解き方とか √(a+bi)はどうなるかとか i^iはどうなるとか いろいろ面白ネタ満載で初歩としては読みやすいと思いますよ。

もちろんご質問のe^iθ=cosθ+isinθをオイラーがどのように導いたか複数証明してあります。
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博士の愛したオイラーの等式のほうの話なら、


A No.2 のふたつめのリンク先が
A No.1 の言う「厳密性を無視して代入整理するだけ」
の説明になっています。
ちゃんと証明するには、exp, cos, sin それぞれの
収束半径が∞であることを示して、
巾級数の収束が収束円内では絶対収束であることから、
総和順を変更したり、部分級数の極限をとったりすることが
許されることを説明する必要があるでしょう。
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厳密性を無視すれば「代入して整理する」だけ.

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