複素数について

虚数単位iを導入すると複素係数多項式の解は複素数の中にある。つまり複素数の代数閉体は複素数というのがありますが、何故なんでしょう。言いたいことは分かるのですが、例えばX^2=iの解も複素数ということになります。どうして多項式の解は複素数の範囲に収まるんでしょうか？哲学的というか直感的な説明を誰かしていただけませんか？

No.3 回答者： graphaffine 回答日時： 2004/01/22 12:47

hyper-cubeさん、こんにちは。

＞例えばX^2=iの解も複素数ということになります。

このような書き方ですと、このように成るのがおかしいと
おっしゃってるようですが、その理由を教えてもらえますか。そうでないと、質問の趣旨が分かりかねますので。

あと、僭越ながら意味不明な部分を指摘させてもらいます。
＞複素数の代数閉体は複素数
複素数体の代数的閉包は複素数体、或いは同じ事ですが、複素数体は代数閉体である。
の勘違いでしょう。

No.2 回答者： ranx 回答日時： 2004/01/21 12:37

直感的にということなので、証明は置いておいて。

例えば f(x)=x^2 という関数があったとします。
xが実数である時、f(x)は負でない実数の範囲に収まります。
関数は、いわば実数直線を0の点で折り曲げるような働きを
します。（多少伸縮しますが。）元の実数直線と比べると、
正の領域では線が二重になっているのに対し、負の領域では
線が存在していません。

xが複素数の時はどうでしょう。二乗すると偏角が二倍に
なりますから、これは、複素数平面を原点0の回りに
グルグルと二重に巻きつけるようなイメージになります。
面が覆っていないような点は存在しません。したがって、
どうのような点zをとっても、f(x)=zとなるような点xが
存在することになります。

f(x)=x^n と任意の自然数にしても、巻きつく回数が異なる
だけで、面が複素数平面全域を覆うという性質は変わりません。
それに加減乗除等の演算を加えても、やはり面は全域を
覆っているのです。

このことは、任意の代数方程式f(x)=0 が必ず解を持つことを
意味します。

こんなイメージでいかがでしょう。

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2004/01/21 02:12

これはガウスが最初に証明した代数学の基本定理です。

代数学の基本定理：
任意の複素係数多項式f(z)においてf(z)=0となるような複素数ｚが存在する。

1つ存在してそれをaとすればz-aで割れるから結局この定理を繰り返し適用してfがn次だとするとn個の複素数根が存在するということが分かる。

ガウスはこれを証明する方法を3つ提示したそうです。