偏微分方程式の問題

次の問題に解答が付いていませんでした。どうか答えが正しいか教えてください。よろしくお願いします。

問題 以下の条件を満たす偏微分方程式を解け

　　　　∂^2f/∂t^2=∂^2f/∂x^2

f(0,t)=f(1,t)=0 (t>=0)

f(x,0)=sin(πx)

∂f/∂t=1 (0<=x<=1)
　　　　　　　　
答えはf（x、t）=sin(πx)cos(πx)＋∑{2(1-(-1)^k)/(k^2π^2) }sin(kπx)sin(kπt)
　　　　　　　　

となりました。Σはk=1から∞です

No.8 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2012/07/19 05:47

最後のほうの一ヶ所修正：

1=∂f(x,1)/∂t=g'(x)-g'(-x)=-2Σ[n:1→∞]πnb[n]sin(πnx)
↓
1=∂f(x,0)/∂t=g'(x)-g'(-x)=-2Σ[n:1→∞]πnb[n]sin(πnx)

解を求める過程：
x+t=u,x-t=v
と変数変換すると偏微分方程式は簡単になり直ちに一般解が求まる
その解の変数を元にもどするとg,hを2階連続微分可能関数として
f(x,t)=g(x+t)+h(x-t)
f(0,t)=0より
g(t)+h(-t)=0
よってh(x)=-g(-x)だから
f(x,t)=g(t+x)-g(t-x)
f(1,t)=0より
g(t+1)-g(t-1)=0すなわちg(x+2)=g(x)
gは周期2の周期関数なので
a[1],a[2],a[2],…
b[1],b[2],…
cを実数として
次の様にフーリエ級数展開できる
g(x)=Σ[n:1→∞](a[n]sin(πnx)+b[n]cos(πnx))+c
f(x,0)=sin(πx)であるから
f(x,0)=g(x)-g(-x)=2Σ[n:1→∞]a[n]sin(πnx)=sin(πx)
よってa[1]=1/2,a[2]=0,a[3]=0,…だから
g(x)=1/2sin(πx)+Σ[n:1→∞]b[n]cos(πnx)+c
∂f(x,0)/∂t=1だから
1=∂f(x,0)/∂t=g'(x)-g'(-x)=-2Σ[n:1→∞]πnb[n]sin(πnx)
ここでx=0とすると
1=0

この回答へのお礼

ご丁寧な解説ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/19 09:37

No.7 回答者： reiman 回答日時： 2012/07/19 05:31

旧帝大学の大学院入試問題なので間違いはないと思った>>>>>

提示されている答えが条件式を満たすかどうかは直ちにわかるはず

解を求める過程：
x+t=u,x-t=v
と変数変換すると偏微分方程式は簡単になり直ちに一般解が求まる
その解の変数を元にもどするとg,hを2階連続微分可能関数として
f(x,t)=g(x+t)+h(x-t)
f(0,t)=0より
g(t)+h(-t)=0
よってh(x)=-g(-x)だから
f(x,t)=g(t+x)-g(t-x)
f(1,t)=0より
g(t+1)-g(t-1)=0より
すなわちg(x+2)=g(x)
gは周期2の周期関数なので
a[1],a[2],a[2],…
b[1],b[2],…
cを実数として
次の様にフーリエ級数展開できる
g(x)=Σ[n:1→∞](a[n]sin(πnx)+b[n]cos(πnx))+c
f(x,0)=sin(πx)であるから
f(x,0)=g(x)-g(-x)=2Σ[n:1→∞]a[n]sin(πnx)=sin(πx)
よってa[1]=1/2,a[2]=0,a[3]=0,…だから
g(x)=1/2sin(πx)+Σ[n:1→∞]b[n]cos(πnx)+c
∂f(x,0)/∂t=1だから
1=∂f(x,1)/∂t=g'(x)-g'(-x)=-2Σ[n:1→∞]πnb[n]sin(πnx)
ここでx=0とすると
1=0

この問題は間違っている

No.6 回答者： reiman 回答日時： 2012/07/18 13:03

∂f/∂t=1 (0<=x<=1)ではなく

∂f（x，0）/∂t=1 (0<=x<=1)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

f(x,t)=sin(πx)cos(πt)＋∑{2(1-(-1)^k)/(k^2π^2)}sin(kπx)sin(kπt)
なら
1=∂f(x,0)/∂t=∑{2(1-(-1)^k)/(kπ)}sin(kπx)
となるはずが
x=0,1とすると
1=0

この提示された答えを無視して解を求めようとしても
これらの条件のもとでは解は存在しないのでこの問題は間違いである

そもそも質問者はお願いする立場なのだから予め代入して確かめておくぐらいの誠実さを期待する

この回答への補足

この問題はある旧帝大学の大学院入試問題なので間違いはないと思ったのですが、すいません確認しておりませんでした。

補足日時：2012/07/18 23:12

No.5 回答者： reiman 回答日時： 2012/07/18 05:42

（１）答えを条件式に入れると成立しないので答えは間違っている

（２）答えを無視して問題を解こうとしてもこれらの条件式を満たす解は存在しないので問題が記述ミスでなければ問題自体が間違いである

数学の場合、明らかなケアレスミスはともかく間違った質問を出すのは迷惑なものだ！
数学の場合には正確に問題を書くべきだ

この回答への補足

大変申し訳ございません。条件が一つだけ違いました。

∂f/∂t=1 (0<=x<=1)ではなく

∂f（x，0）/∂t=1 (0<=x<=1)
でした。

補足日時：2012/07/18 12:32

この回答へのお礼

加えて申し訳ないのですが、答えも違いました。すいません

＞答えはf（x、t）=sin(πx)cos(πx)＋∑{2(1-(-1)^k)/(k^2π^2) }sin(kπx)sin(kπt)ではなく

f（x、t）=sin(πx)cos(πt)＋∑{2(1-(-1)^k)/(k^2π^2) }sin(kπx)sin(kπt)でした。

お礼日時：2012/07/18 12:46

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2012/07/17 16:45

書き間違い修正：

u=x+t
v=x-t
とすれば簡単に一般解が求まる

g,hを任意のC2級関数として
f(x,t)=g(x+t)+h(x-t)
である
後退波と進行波の和になっている
後は境界条件、初期条件を満たすようにg,hを決めるだけ

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/17 15:00

いやいや、波動方程式の一般解はダランベールの公式でNo.2のような形になります。

もっと教科書を読みましょう。

この回答への補足

学校の問題集ではすべてf=T(t)*X(x)として解くようにならっていたので、知りませんでした。勉強不足ですいません

補足日時：2012/07/18 12:50

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2012/07/17 14:03

u=x+v

v=x-v
とすれば簡単に一般解が求まる

g,hを任意のC1級関数として
f(x,y)=g(x+y)+h(x-y)
である
後退波と進行波の和になっている
後は境界条件、初期条件を満たすようにg,hを決めるだけ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/18 12:52

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/17 11:38

演習書とか探してみましたか？

このレベルの問題は載っていた気がします。
演習微分方程式 って言う黄色い演習書辺りを書店で読んでみてください。
級数解の解き方丸投げされると、回答者が出てきても理解できないですよ。