大学数学 解析学：級数について

この度、級数の問題について、知恵をいただきたく、投稿させていただきます。

（１）収束半径を求める際、通常、limx->∽|an+1/an|を求め、その逆数を取ると思うのですが、この関数の場合、anをうまくとることができずに困っています。

（２）分母がn＾２の時は、自明としかおもえずうまく解答をできませんでした。

以上、どうかよろしくお願いいたします。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/28 19:13

「n^2 の時は自明」というのは、

Σ[n=1→∞] (-1)^n (log n)/n が条件収束することから
級数変形でもするのかな？
それで示せるけれど、「自明」で済むような気はしません。

私なら、
Σ[n=1→∞] | (-1)^n (log n)/n^2 |
= Σ[n=1→∞] (log n)/n^2
≦ ∫[1→∞] (log x)/x^2 dx
= [ -(log x)/x - 1/x ][1→∞]
= 1 (有界)
のほうが親しみやすいでしょうか。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/28 15:01

(1)

あなたの「通常」の方法を、ダランベール公式といいます。
L = lim[n→∞] |a(n+1)/a(n)| が収束する場合には、
べき級数 Σ[n=0→∞] a(n)x^n の収束半径は 1/L である
…というものですが、「収束する場合には」がクセモノで、
L が収束しない場合には、べき級数について何も言えません。
その場合、ダランベール公式ではなくコーシー公式を使います。
C = limsup[n→∞] |a(n)|^(1/n) は、収束するか
+∞発散するかのどちらかであるが、 そのどちらの場合にも、
べき級数 Σ[n=0→∞] a(n)x^n の収束半径は 1/C である。
こちらは、どんなべき級数にも使える万能の公式ですが、
limsup[n→∞] |a(n)|^(1/n) の計算はたいへんなので、
ダランベールが使える場合には、そちらで済ませたいものです。

今回の問題は、ちゃんとダランベールが使えるケースなので、
ちゃらっと済ませてしまいましょう。a(n)=1 for all n です。

(2)
上記のダランベール公式もコーシー公式も、それぞれ
級数の収束についてのダランベール判定法、コーシー判定法を
べき級数に応用したものです。原形のダランベール判定法は、
L = lim[n→∞] |b(n+1)/b(n)| が収束して L<1 であれば、
級数 Σ[n=0→∞] b(n) は収束する。
L が収束して L>1 であれば、Σ[n=0→∞] b(n) は発散する。
L が発散したり、L=1 に収束する場合には、Σ[n=0→∞] b(n)
については何も言えない…というものです。

今回の問題は、L=1 に収束する場合にあたり、ダランベール法は
使えません。コーシーの判定法でも、C=1 になるので、ダメです。
さあ、どうしよう？

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/28 02:41

(1)1/(1－x)のマクローリン展開。

収束半径1

(2)質問文の(1)のやり方

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/28 02:37

1: 「通常」以外の方法はありませんか? 例えば, 直接定義を考えることはできませんか?

2: 「自明としか思えない」って, なんらか「根拠のようなもの」があると思うんですが, それを表現することができない, ってことでしょうか.