こんにちは。実は、手元にある参考書(大学への数学)
に包絡線(?)についての問題があるのですが、さっぱり理解できません。。。
答えも乗っていないので、どう考えたらいいかもわかりません。
以下、全文を載せます。
例1 a,bは実数である。tの方程式t^2-2at+b-1が0小なりt小なり1を満たす実数解を
少なくとも2つ持つとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。
です。もう一問あって、
例2 実数tが0小なりt小なり1で動くとき、xy平面の直線lt:y=2tx-t^2+1が通過する領域
を求めよ。
です。両方とも考えたのですが、よくわかりません。解法など示して頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
例1>
f(t)=t^2-2at+b-1=(t-a)^2+b-1-a^2からこの二次曲線は
(a,b-1-a^2)を極小点とし下に凸(∪)。
0<t<1の範囲でこの曲線がt軸と2点で交わるためには、
0<a<1・・・(ア)
b-1-a^2<0・・・(イ)
f(0)=b-1>0・・・(ウ)
f(1)=1-2a+b-1=-2a+b>0・・・(エ)
として(ア)~(エ)を満たせばよい。
よって点(a,b)の存在範囲は、縦軸b、横軸aの直交座標系に、
直線a=1・・・(ア)
二次曲線b=a^2+1・・・(イ)
直線b=1・・・(ウ)
直線b=2a・・・(エ)
を描き、
(ア)の左側かつ(イ)の下側かつ(ウ)の上側かつ(エ)の上側の部分を
斜線などで示せばよい。なお、各線上は含まない。
例2>
y=2tx-t^2+1
(ア)x=0のときはy=1-t^2
0<t<1
0<t^2<1
0>-t^2>-1
1>1-t^2>0・・・(あとでも使います)
よってy軸上の通過する領域は0<y<1・・・(1)
(イ)0<xのときは
0<t<1から0<2xt<2x
(ア)の途中式0<1-t^2<1
各辺を加えて
0<2xt-t^2+1<2x+1
よって0<xでy=2tx-t^2+1の通過する領域は0<y<2x+1・・・(2)
(ウ)x<0のときは
0<t<1から0>2tx>2x、書き変えて2x<2tx<0
(ア)の途中式0<1-t^2<1
各辺を加えて
2x<2tx-t^2+1<1
よってx<0でy=2tx-t^2+1の通過する領域は2x<y<1・・・(3)
以上から、実数tが0<t<1で動くとき、xy平面の直線lt:
y=2tx-t^2+1が通過する領域は
(ア)y軸上では0<y<1
(イ)0<xでは0<y<2x+1、すなわちx軸と直線y=2x+1とに挟まれた
領域(x軸上及び直線上を含まず)
(ウ)x<0では2x<y<1、すなわち直線y=2xと直線y=1(x軸に平行な
直線)とに挟まれた領域(両直線上を含まず)
になります。
お礼が遅くなりました。すみません。最近すごく忙しいですが、
この問題を教わったとおりに考えてみたいので、
しばらくお待ちください。
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