元利均等返済でお尋ね致します。

Question

お尋ね致します。
借入をして、返済方式を元利均等返済とします。
利率 年利 12％
借入1ケ後に元利合計１００万
借入2ケ後に元利合計１００万
借入3ケ後に元利合計１００万

合計 ３００万の返済をして完済するものとした

(1)元利均等返済なので毎月の元金返済額が変わりますが
毎月100万の元金及び利息の計算はどの様にして求められますか？

(2)又、当初借入金は幾らになりますか？

xexstyle · Accepted Answer

毎月の返済額の割引現在価値の合算が借入額です。

借入1ケ月後の１００万の割引現在価値は、100万円÷(1+12%÷12ヶ月)＝990,099円
借入2ケ月後の１００万の割引現在価値は、100万円÷(1+12%÷12ヶ月)^2＝980,296円
借入3ケ月後の１００万の割引現在価値は、100万円÷(1+12%÷12ヶ月)^3＝970,590円

借入額は、970,590円＋980,296円＋990,099円＝2,940,985円
まとめて式で書くと、100万円×(1-1÷(1+12%÷12ヶ月)^3)÷1%＝2,940,985円となります。
ExcelのPV関数や金融電卓を使ってもこの数値になります。

毎月の利息分は、ややこしいですが、逆順で考えた返済回の割引現在価値と毎月の返済額100万円との差額になります。
初回返済時の利息分は、毎月の返済額と最終回の割引現在価値との差、100万円－970,590円＝29,410円
二回目返済時の利息分は、毎月の返済額と二回目の割引現在価値との差、100万円－980,296円＝19,704円
最終回返済時の利息分は、毎月の返済額と初回の割引現在価値との差、100万円－990,099円＝9,901円

なお＾の記号はべき乗（るい乗）を表します。

hinode11 · Answer

No.3です。

No.３の回答の重大な誤りを発見したので訂正します。

【誤】元金償還額　ａ（３）＝１，０００，０００－ｒ（３）＝９７９，９００－０．０１０２０１Ａ………Ｄ

【正】元金償還額　ａ（３）＝１，０００，０００－ｒ（３）＝１，０２０，１００－０．０１０２０１Ａ

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

ですから、答が変わります。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

【書き直し】の書き直し

ａ（１）＝１，０００，０００－０．０１Ａ
ａ（２）＝１，０１０，０００－０．０１０１Ａ
ａ（３）＝１，０２０，１００－０．０１０２０１Ａ

これら三つの等式で、
・左辺の合計は、　
ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）
・右辺の合計は、
（１，０００，０００－０．０１Ａ）＋（１，０１０，０００－０．０１０１Ａ）＋（１，０２０，１００－０．０１０２０１Ａ）＝３，０３０，１００－０．０３０３０１Ａ
です。

ここで左辺の合計は、
ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）＝　Ａ
ですから、

Ａ＝３，０３０，１００－０．０３０３０１Ａ

このように変数をＡとする一元一次方程式が完成します。これを解けば、

Ａ＋０．０３０３０１Ａ＝３，０３０，１００
１．０３０３０１Ａ＝３，０３０，１００
Ａ＝２，９４０，９８５．２０７・・

答。　当初の借入元金は２，９４０，９８５円
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

大変、失礼しました。

なお、私の回答の数値が正しいかどうかは、エクセルの関数を使って検算することができますよ。

毎月償還金額（元利込み）：　f(χ)＝ＰＭＴ（月利率,償還月数,借入元金）

ただし、この関数の答はマイナスで表示されるので、マイナス符号は無視して下さい。

hinode11 · Answer

No.３です。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【回答文】

ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）＝　Ａ　＝Ｂ＋Ｃ＋Ｄ
ですから、変数をＡとする一元一次方程式が完成します。これを解けば、

Ans. Ａ＝２，９０１，９６７．４８３・・

答。　２，９０１，９６７円

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

この、終わりの文章が分かり難いかも知れないので詳しく書き直します。↓

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【書き直し】

ａ（１）＝１，０００，０００－０．０１Ａ
ａ（２）＝１，０１０，０００－０．０１０１Ａ
ａ（３）＝９７９，９００－０．０１０２０１Ａ

これら三つの等式で、
・左辺の合計は、　
ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）
・右辺の合計は、
（１，０００，０００－０．０１Ａ）＋（１，０１０，０００－０．０１０１Ａ）＋（９７９，９００－０．０１０２０１Ａ）＝２，９８９，９００－０．０３０３０１Ａ

左辺の合計は、
ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）＝　Ａ
ですから、

Ａ＝２，９８９，９００－０．０３０３０１Ａ

このように変数をＡとする一元一次方程式が完成します。これを解けば、

Ａ＋０．０３０３０１Ａ＝２，９８９，９００
１．０３０３０１Ａ＝２，９８９，９００
Ａ＝２，９０１，９６７．４８３・・

答。　当初の借入元金は２，９０１，９６７円
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

hinode11 · Answer

No.３です。回答文の冒頭に次の条件を挿入して下さい。

～～～～～～～～～～～～～～～
条件：
・当初借入元金　　Ａ円
・借入月利率　１％
・利息後払い
～～～～～～～～～～～～～～～

失礼しました。

hinode11 · Answer

…………………元金償還額……利息償還額……元利償還額………元金残高
借入１ヶ月後………ａ（１）…………ｒ（１）………１，０００，０００……　Ａ－ａ（１）
借入２ヶ月後………ａ（２）…………ｒ（２）………１，０００，０００……　Ａ－ａ（１）－ａ（２）
借入３ヶ月後………ａ（３）…………ｒ（３）………１，０００，０００………　０
計……………………Ａ……………Ｒ……………３，０００，０００

(1)ｒ（１）を求める。
ｒ（１）＝Ａ×１％＝０．０１Ａ

ここから、
元金償還額　ａ（１）＝１，０００，０００－ｒ（１）＝１，０００，０００－０．０１Ａ………Ｂ
元金残高　　Ａ－ａ（１）＝Ａ＋０．０１Ａ－１，０００，０００＝１．０１Ａ－１，０００，０００

(2)次にｒ（２）を求める。
ｒ（２）＝（Ａ－ａ（１））×１％＝０．０１０１Ａ－１０，０００
ここから、
元金償還額　ａ（２）＝１，０００，０００－ｒ（２）＝１，０１０，０００－０．０１０１Ａ………Ｃ
元金残高　　Ａ－ａ（１）－ａ（２）＝１．０２０１Ａ－２，０１０，０００

(3)次にｒ（３）を求める。
ｒ（３）＝　（Ａ－ａ（１）－ａ（２））×１％＝０．０１０２０１Ａ－２０，１００
ここから、
元金償還額　ａ（３）＝１，０００，０００－ｒ（３）＝９７９，９００－０．０１０２０１Ａ………Ｄ
元金残高　　０

ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）＝　Ａ　＝Ｂ＋Ｃ＋Ｄ
ですから、変数をＡとする一元一次方程式が完成します。これを解けば、

Ans. Ａ＝２，９０１，９６７．４８３・・

答。　２，９０１，９６７円

NPAsSbBi · Answer

借入額をXとします。年利12%なので、1%/月です。

最初に、X円借りる。

1ヶ月後の最初の返済日の残金は、元金X円に利息1%が加わってくるので、1.01X円となっている。

ここから100万円を支払うので、残金は1.01X-1,000,000。

2か月後の2度目の返済日の残金は、最初の返済後の残金に利息1%が加わるので、
1.01(1.01X-1,000,000)円。
ここから100万円を支払った残金は、
　1.01(1.01X-1,000,000)-1,000,000
=1.0201X-1,010,000-1,000,000
=1.0201X-2,010,000

3ヶ月後の3度目の返済日の残金は、1.01(1.0201X-2,010,000)
ここから100万円支払って残金がゼロになるので、
1.01(1.0201X-2,010,000)-1,000,000=0
1.030301X-2,030,100-1,000,000=0
1.030301X=3,030,100
X=2,940,985.207・・・

借入金額は、およそ294万1,000円です。
先に(2)の答が出てしまいました。

借入金額が294万1,000円のとき、1ヶ月目の残金はその1.01倍の2.970,410。
発生利息は、29,410円です。
返済額が100万円なので、うち利息が29,410円、元金はその残りの970,590円です。
2ヶ月目、3ヶ月目は、自分で計算してみて下さい。

savanya · Answer

こちらを参考に
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%83%E5%88%A9%E5%9D%87%E7%AD%89%E8%BF%94%E6%B8%88

元利均等返済でお尋ね致します。

毎月の返済額の割引現在価値の合算が借入額です。

この回答への補足

No.3です。

No.３です。

No.３です。

…………………元金償還額……利息償還額……元利償還額………元金残高

この回答への補足

借入額をXとします。

こちらを参考に

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