教えて下さい。

x=t+sint、y=1-costで、原点から曲線上の点P(tが0≦t≦πである曲線上の点)までの弧の長さをs、Pにおける接線がｘ軸となす角をθとすれば、s=4sinθとなることを示したいです。どうやればいいですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2004/02/06 07:49

まず、sを求めます。

dx/dt=1+cost, dy/dt=sintなので、
s=∫(0→t)√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
=∫(0→t)√(1+cost)dt
=2∫(0→t)cos(t/2)dt　(公式：cost=2cos^2(t/2)-1を使用）
=4sin(t/2)・・・※１

次に、Pにおける接線の傾きは、
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
=sint/(1+cost)
であり、これはtanθに等しい。
よって、sinθ/cosθ=sint/(1+cost)なので、sin^2θ+cos^2θ=1と連立させれば、
sinθ=sin(t/2)となる。・・・※２
（注：0≦θ≦πなのでsinθ≧0）
（このときも、cost=2cos^2(t/2)-1を使用）

※１、※２より、s=4sinθ

この回答へのお礼

ありがとうございました。解けました！

お礼日時：2004/02/06 17:41