指数にまつわる同値関係 a=b⇔a^m=b^m

大学入試範囲です



指数にまつわる同値関係なのですが




質問1

aが実数　bが実数　mが奇数　のとき　　　a=b⇔a^m=b^m

これはどうやら真なようなのですが
（問題集でこの事実を使用していました）
自分ではうまく証明できませんでした
証明を教えてください



質問2

aが実数　bが実数　mが偶数　のとき　　　a=b⇔a^m=b^m

aが実数　bが実数　mが偶数　のとき　　　a=bまたはa=-b⇔a^m=b^m


を考えてみたのですが
これも真か偽かうまく証明できませんでした

真か偽か証明を添えて教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/08 22:12

y=x^m

(1)mが奇数のとき常に増加関数でグラフは原点対称．

(2)mが偶数のときx≧0で増加関数，x≦0で減少関数でグラフはｙ軸対称．

であることを利用します．

質問1　(1)によりあきらかです（グラフを考える）

質問2　ｍが偶数のとき．
a≧0,b≧0またはa≦0,b≦0のときは(2)により増加または減少のためa=b⇔a^m=b^mは真です．
a,bに制限を設けなければ(2)によりa=bまたはa=-b⇔a^m=b^mが真です．
（いずれもグラフを考える）

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/09 09:03

>aが実数　bが実数　mが奇数　のとき　　　a=b⇔a^m=b^m　…

a^m=b^m → a^m - b^m = (a-b){ a^(m-1) + a^(m-2)b + a^(m-2)b^2 + ab(m-2) + b(m-1) } = 0
ですが、まん中の項を変形すると、
　b^(m-1)*{x^(m-1) + x^(m-2) + x^(m-3) + … + x + 1}
となります。(i.e.　x = a/b)

x^(m-1) + x^(m-2) + x^(m-2) + x(m-3) + … + 1　の零点は、複素平面の単位円上にて偏角が 2kπ/m (k = 1, 2, 3, … m-1) である m-1 個の点セット。
偏角 2kπ/m がπになる (実数零点！) のは k = m/2 、つまり m が偶数で k がその半分の場合のみ。

…と準備してから、場合わけを吟味してみると？。

　　

No.2 回答者： noname#163178 回答日時： 2012/10/09 03:09

質問２は下が真。

質問１、２いずれも⇒）は明らかなので、逆向き⇐）が成り立つかどうかチェックすればよい。

ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｍ－ａ＾ｍと置く。

ａ≠０としてよい。

ｘについての方程式ｆ（ｘ）＝０をみたす任意のｘに対して、α＾ｍ＝１となるあるαが存在してｘ＝αａとなることを言う。

ｍの偶奇に応じて、ｙについての方程式ｙ＾ｍ＝１の実根は何になるか（１だけか、１と－１の２つだけか）を言う。