一般相対論の座標系

何も無い真空で座標系を描いたとします。座標系の原点は大変遠い場所にあり、
そこに天体を置いて強い重力場を作りますが、この座標系を使う人は原点から遠方に
いるので全く重力の影響を受けないとします。
重力場の一つの解にシュバルツシルト解があります。
このとき、最初に何も無い真空で描いた座標系でもって、
シュバルツシルト解が表現されているのでしょうか？
つまり、座標系を描くというのは重力場があろうが無かろうが関係なく
普通に描けばいいと言う事でしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/11/04 08:31

補足された内容は、まったく正しい解釈であると思います。

空間の曲がりはきわめてゆるやかなので、私たちは局所的にそれに気づくことはできません。いくら多少曲がっていても、その曲がったスケールが局所的には「直線」であると解釈されるわけです。そして光もまたその「直線」（測地線）にそって進むのですね。ただし、私たちが望遠鏡で重力源の近くを観察するとき、そこは時空間の曲がりがきついためにその近くを通る光が曲がって進むように見えたり、物理的な現象がゆっくり進むように見えたりということが起きます。これは、局所的にほぼ平坦な空間にいる立場からきつく曲がった空間を遠目に観察しているからです。今いる場所から自分がまっすぐだと考える直線を重力源の近傍まで引いていけば、やはり（遠方から見ると）曲がって引いてしまいます。それぞれの場所において空間の測地線を私たちは直線であると判断する。しかし、他の場所のスケールに照らしてみればそれは直線とは限らないということになるでしょう。

この回答へのお礼

重力によって光が曲がって進む図があって、座標系は全くフラットに描かれていました。
あれ、時空は曲がっているはずでは。。。この図は一体なんなんだろう？曲がっているとは
どういう意味なんだろうととしばし暗中模索でした。頭がクラクラしてくるほどでした(^^;

確かに、自分の近傍の測地線こそ自分は真っすぐだと思う訳ですね。
納得です。

おかげさまで、観測者の立ち位置について理解がだいぶ進んだ気がします。
本当に感謝します。ありがとうございました。

お礼日時：2012/11/04 23:16

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/11/03 14:40

一般相対論においては、座標の計量によって曲がった時空を表現するのですから、座標そのものが曲線座標になり、その曲率によって間接的に重力場を表すことになります。

たとえばシュバルツシルト時空の曲がり具合を視覚的に曲がったものとして表現しようと思うなら、5次元のユークリッド的（ミンコフスキー的）な座標が必要です。もちろん5次元の視覚化は無理ですが、時空の空間部分は球対称ですから、座標rの曲がり具合を＋１次元の架空の座標軸を加えることで表すことができます。4次元時空を平坦な5次元空間に埋め込んだものの2次元断面というわけですね。よく見られる方位角方向を加えたろうと状のモデルは、その3次元断面といえます。

この回答への補足

ありがとうございます。
曲がり具合をどのように見るかと言うのも難しい問題だと思いますが、とりあえずの私の疑問と言うのは
例え曲がった時空の中にいたとしても、その人が使う座標系を、その人にとってもわざわざ曲げて見えるようにする必要は
無いのかなと言う事です。その座標系は確かに曲がってはいますが、それは局所慣性系などから見て曲がっているわけですし
曲がった時空の人がわざわざ自分が使う座標系を曲げて描く必要も無いでしょうと。
伝わり辛いでしょうか。
例えば、真空に何も無い時、x-y-zの単純な直交座標系を描きます。そして空間に１メートル毎に点をプロットしていきます。
(0,0,0) に点、(1,0,0)に点と、全空間に点をプロットします。
この点はあくまで座標系のメモリですので物理的実態はありません。
この時、原点に天体を置きます。

無限遠方の人が使う座標系のメモリ、点の位置は、天体を置く前と後で、変化は無いのではないか？と言う事です。
もちろん、天体付近んでは時空は曲がっていて点の間隔は１メートルでは無いでしょうが、無限遠方の人にとっては
それでも１メートルだと思うからです。天体を置いてその重力によって時空は曲がりますが、ある座標系を使っている
人にとって、その人が、あ、今まで使ってた座標系が曲がった、などと気がつくものでは無いのかなと。
そのように思います。よろしくお願いします。

補足日時：2012/11/03 18:57