数学の質問

f(x)=2x^3-(3a-1)x^2-2ax (a≠0)

(1)y=f(x)が単調増加関数であるための条件をもとめよ。

(2)y=0が異なる三つの実数解をもつための条件をもとめよ。

(3)y=0がちょうど二つの実数解ををも
つとき、y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積Sをもとめよ。

お願いします(>_<)

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/12/01 14:13

＞f(x)=2x^3-(3a-1)x^2-2ax (a≠0)

ｆ'(x)＝6ｘ^2－2(3a－1)ｘ－2a

＞(1)y=f(x)が単調増加関数であるための条件をもとめよ。
y=f(x)が単調増加関数であるためには、f'(x)≧0であればよいから、
f'(x)＝0の判別式D/4＝(3a－1)^2－6・(-2a）＝9a^2＋6a＋1＝(3a＋1)^2とすると、
D/4≦0であればよいが、(3a＋1)^2＜0は成り立たないので、(3a＋1)^2＝0
3a＋1＝0より、よって、条件は、a＝-1/3（≠0）

＞(2)y=0が異なる三つの実数解をもつための条件をもとめよ。
成り立つためには、
ｙ＝f(x)が極大値と極小値をもち、極大値＞0，極小値＜0であればよい。

f'(x)＝2{3ｘ^2－(3a－1)ｘ－a}＝2(3ｘ＋1)(ｘ－a)＝0とすると、
ｘ＝-1/3，a　のとき、極値をもつ。
１）-1/3＜aのとき、
極大値f(-1/3)＝1/27＋(1/3)a＞0　より、a＞-1/9
極小値f(a)＝－a^2(a＋1)＜0より、a≠0より－a^2＜0だから、a＋1＞0より、a＞-1
-1/3＜aとこれらの共通範囲は、-1/9＜a
a≠0　であるから、-1/9＜a＜0，0＜a

２）a＜-1/3のとき、
極大値f(a)＝－a^2(a＋1)＞0より、－a^2＜0から、a＋1＜0より、ａ＜-1
極小値f(-1/3)＝1/27＋(1/3)a＜0　より、a＜-1/9
a＜-1/3とこれらの共通範囲は、a＜-1

よって、条件は、-1/9＜a＜0，0＜a　または、a＜-1

＞(3)y=0がちょうど二つの実数解ををもつとき、
＞y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積Sをもとめよ。
y=0がちょうど二つの実数解ををもつためには、
極大値＝0，極小値＜0　または、極大値＞0，極小値＝0であればよい。

１）-1/3＜aのとき、
極大値f(-1/3)＝1/27＋(1/3)a＝0より、a＝-1/9
極小値f(a)＝f(-1/9)＝-(-1/9)^2(-1/9＋1)＝-(1/81)・(8/9)＜0
だから、条件を満たす。
このとき、f(x)＝2ｘ^3＋(4/3)ｘ^2＋(2/9)ｘ＝2ｘ(ｘ＋1/3)^2　……(1)
重解ｘ＝-1/3をもち、ｘ軸との交点は、ｘ＝-1/3，0

極小値f(a)＝－a^2(a＋1)＝0より、a≠0だから、a＝-1
極大値f(-1/3)＝1/27＋(1/3)・(-1)＜0
だから、条件を満たさない。

２）a＜-1/3のとき、
極大値f(a)＝－a^2(a＋1)＝0より、a≠0から、a＝-1
極小値f(-1/3)＝1/27＋(1/3)・(-1)＜0　
だから、条件を満たす。
このとき、f(x)＝2ｘ^3＋4ｘ^2＋2ｘ＝2ｘ(ｘ＋1)^2　……(2)
重解ｘ＝-1をもち、ｘ軸との交点は、ｘ＝-1，0

極小値f(-1/3)＝1/27＋(1/3)a＝0より、a＝-1/9
極大値f(a)＝f(-1/9)＝-(-1/9)^2(-1/9＋1)＝-(1/81)・(8/9)＜0
だから、条件を満たさない。

(1)の面積
S＝∫[-1/3～0]｛0－(2ｘ^3＋(4/3)ｘ^2＋(2/9)ｘ）}ｄｘ
＝－[(1/2)ｘ^4＋(4/9)ｘ^3＋(1/9)ｘ^2][-1/3～0]
＝1/486

(2)の面積
S＝∫[-1～0]｛0－(2ｘ^3＋4ｘ^2＋2ｘ)｝ｄｘ
＝－[(1/2)ｘ^4＋(4/3)ｘ^3＋ｘ^2][-1～0]
＝1/6

簡単にグラフを描いて、条件を確認してみてください。

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/11/30 17:18

(1)y=f(x)が単調増加関数であるための条件をもとめよ。

単調増加関数の条件はf'(x)≧0
f'(x)=6x^2-(6a-2)x-2a=6{x^2-(6a-2)x/6}-2a
=6{x-(6a-2)/12}^2-2a-6*{(6a-2)/12}^2からf'(x)の最小値は
-2a-6*{(6a-2)/12}^2なので、-2a-6*{(6a-2)/12}^2≧0であれば
xの値にかかわらずf'(x)≧0となり、y=f(x)は単調増加関数に
なる。よって-2a-6*{(6a-2)/12}^2≧0を解いて
9a^2+6a+1=(3a+1)^2≦0からa=-1/3・・・答え
(2)y=0が異なる三つの実数解をもつための条件をもとめよ。
異なる三つの実数解をもつためには極大値が正で極小値が負で
なければならない。
f'(x)=6x^2-(6a-2)x-2a=0を解いて
x=[(3a-1)±√{(3a-1)^2+12a}]/6={(3a-1)±√(3a+1)^2}/6
={(3a-1)±(3a+1)}/6からx=a、x=-1/3
(ア)a＜-1/3のときはf(a)が極大値でf(-1/3)が極小値。
よってf(a)=-a^3-a^2＞0、-a-1＞0、a＜-1
f(-1/3)=1/27+a/3＜0、a＜-1/9
a＜-1/3、a＜-1、a＜-1/9の共通範囲はa＜-1・・・(ア)
(イ)a＞-1/3のときはf(-1/3)が極大値でf(a)が極小値。
よってf(-1/3)=1/27+a/3＞0、a＞-1/9
f(a)=-a^3-a^2＜0、-1＜a
a＞-1/3、a＞-1/9、-1＜aの共通範囲はa＞-1/9・・・(イ)
以上より求める条件は、a＜-1又は-1/9＜a・・・答え
(3)y=0がちょうど二つの実数解をもつとき、y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積Sをもとめよ。
＞f(x)=2x^3-(3a-1)x^2-2ax=x{2x^2-(3a-1)x-2a}=0の解はx=0と
2x^2-(3a-1)x-2a=0の解。a≠0なのでf'(0)=-2a≠0だからx=0は
極値ではない。従ってもう一つの実数解は2x^2-(3a-1)x-2a=0
の重根になる。その条件は根の判別式=0だから
(3a-1)^2-4*2*(-2a)=9a^2+10a+1=(9a+1)(a+1)=0から
a=-1/9又はa=-1
a=-1/9のときf(x)=0の実数解はx=0とx=-1/3
a=-1のときf(x)=0の実数解はx=0とx=-1
確認：
a=-1/9のときf'(-1/3)=0だからx=-1/3は重根
a=-1のときf'(-1)=0だからx=-1は重根
f(x)=0の根の一つがx=0かつ重根がいずれの場合も負であり、
f(x)が右肩上がりの三次曲線なので、x≦0の範囲でf(x)≦0と
なる。
以上からa=-1/9のときS=∫[0→-1/3]f(x)dx・・・(ア)
a=-1のときS=∫[0→-1]f(x)dx・・・(イ)
(ア)を計算すると
S=∫[0→-1/3]{2x^3+(4/3)x^2+(2/9)x}dx=1/486
(イ)を計算すると
S=∫[0→-1](2x^3+4x^2+2x)dx=1/6
よってS=1/486又はS=1/6・・・答え