No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?
頭がいいとは関係なく、日頃の観察と偶然の発見から出てきた公式でしょう。
四角柱の容器に水をいれて傾けた時の各辺の液面までの高さa,b,c,dの平均やaとcの平均、bとdの平均が、四角柱を垂直に立てた時の高さhになっていることに気がついたのでしょう。
式で書けば
(a+b+c+d)/4=h
(a+c)/2=(b+d)/2=h
この時,切頭四角柱の体積Vは、底面積をSとすれば
V=S(a+b+c+d)/4=Sh
この公式は小中学生でも使える簡単な公式です。
しかし、この証明は重積分を用いますので、重積分を習ってからでしょう。高校あるいは大学以上で重積分を習った後でないと無理でしょう。
証明は切頭四角柱の底面のx方向の長さ、y方向の長さをそれぞれm,nとおきます。切頭四角柱の各辺の高さを反時計回りにa,b,c,dとおきます。長さdの辺に重ねてz軸にとり、dの辺の下端(底面上の端)を原点O(0,0)にとると
切頭四角柱の上面の表面の方程式は
f(x,y)=d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn), 0≦x≦m,0≦y≦n)
但し、(a+c)/2=(b+d)/2=h, 底面の面積S=mn
接頭四角柱の体積Vは
V=∬[0≦x≦m,0≦y≦n] f(x,y)dxdy
=∫[0,m]dx∫[0,n] {d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn)}dy
=(3d-c+3b-a)*mn/4
b+d=a+cの関係より
V=(a+b+c+d)mn/4
=S(a+b+c+d)/4
=Sh
となります。
[証明終り]
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 この分かる方解説していただきたいです。 問題5.x^2+y^2+z^2≤9から円柱x^2+y^2≤1 1 2023/01/16 10:06
- 数学 解き方をくわしく教えてください 8 2022/10/14 23:57
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 物理学 図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M 7 2023/02/15 09:23
- 数学 sin/x=1の証明で、範囲を0〜90度、0度〜-90度の2つの範囲でおいてから証明してますが、なぜ 4 2022/05/10 21:38
- 数学 sin/x=1の証明で、範囲を0〜1/2π、0度〜-1/2πの2つの範囲でおいてから証明してますが、 4 2022/05/10 21:57
- 数学 球の中心が正三角形の3辺をたどって1周したとき、球が通過してできた立体の体積を求めなさい。 1 2022/06/23 20:35
- 数学 チャート式数学(黄)i.aの問158について 3 2022/10/20 12:10
- 数学 この問題で、 解説では全体の三角形から引いて求めてるのですが、自分はしたの写真のようにみどりと赤の部 2 2022/09/18 20:48
- 数学 ベクトル解析 ガウスの定理 問題 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,0)を頂 7 2023/07/18 21:43
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報