三角関数の方程式についてです

(sinθ)^2+cosθsinθ-(cosθ)^2=0

この式の解が必要な問題があるのですが全くわかりません
どなたかわかる方がいらっしゃいましたら教えてください
よろしくお願いします

No.9 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/15 14:37

倍角公式で一旦 2θ にまとめた式を

また倍角公式で θ にバラす理由がわからん。
A No.5 に書いたように、
原式の両辺を (cosθ)^2 で割るだけで
(tanθ)^2 + tanθ - 1 = 0 は出る。

二次方程式を解いて、
tanθ = (-1±√5)/2。　
これが、厳密で最もシンプルな答えだと思う。

θ = tan^-1((-1+√5)/2) または tan^-1((-1-√5)/2)
などと書いてもよいが、この書き換えには
あまり魅力を感じない。

tanθ = (-1+√5)/2 を満たす θ は、
0<θ<π/2 に 1 個だけあり、tan は周期 π を持つ。
tanθ = (-1-√5)/2 を満たす θ は、
-π/2<θ<0 に 1 個だけあり、tan は周期 π を持つ。
tan の概形を知っていれば、これは解る。

どうやっても、θ の値を解析的に書くことはできないが、
存在範囲を絞ることは、数値近似によって可能だ。
予め数値計算された三角関数表によることもできるだろう。

この回答へのお礼

alice_44さんの回答が一番わかり易かったのでベストアンサーにさせて頂きます。

お答えして下さった皆さん詳しく教えて頂き、ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/15 15:22

No.8 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/15 06:51

ANo.3です．すいません．計算ミスしていました．ANo.6さんが正しく計算されているように

tan(2θ)=2

となります．θに制限がなければtanα=2となる鋭角αを一つとって

2θ=α+nπ（n整数）

（☆）θ=α/2+nπ/2（n整数）

あるいは☆を2倍角公式で

2tanθ/(1-tan^2θ)=2

と書き直して

tan^2θ+tanθ-1=0

tanθ=(√5-1)/2またはtanθ=-2/(√5-1)

後ろの方程式はtan(θ+π/2)=(√5-1)/2とかけるので

tanβ=(√5-1)/2を満たす鋭角βを一つとって

θ=β+kπまたはθ+π/2=β+kπ（kは整数）

すなわち

θ=β+kπ，β+(k-1/2)π（kは整数）

とかけます．ここでk=2k/2=(偶数)/2,k-1/2=(2k-1)/2=(奇数)/2は合わせて(整数)/2を表すので

（★）θ=β+nπ/2（n整数）

となります．

当然（☆）と★は同じもので，α，βは鋭角ととっていますから

α/2=β

とならねばなりませんが，それはtanα=2，tanβ=(√5-1)/2から言えます．なぜなら，

α/2=β

⇔tan(α/2)=tanβ

ですが，cosα=1/√(1+tan^2α)=1/√5なので

tan(α/2)=√{(1-1/√5)/(1+1/√5)}=

=√{(1-1/5)/(1+1/√5)^2}

=(2/√5)/(1+1/√5)=2/(√5+1)

=(√5-1)/2

=tanβ

となるからです．

こうして厳密な答で最もシンプルなのは

『θ=α/2+nπ/2（n整数）

ただし，αはtanα=2を満たす鋭角』

でしょう．

No.7 回答者： birth11 回答日時： 2012/12/15 02:58

表で調べたところ

θ ≒ 31.717474411461005324°……(答)

No.6 回答者： birth11 回答日時： 2012/12/15 02:33

cos2θ = ( cosθ )^2 - ( sinθ )^2

sin2θ = 2 sinθcosθ

これを使って、問題式に代入すると

- cos2θ + (1 / 2 ) sin2θ = 0
sin2θ / cos2θ = 2
tan2θ = 2

後は三角比の表を見て θ の値を特定すればいい。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/14 23:45

cosθ=0 の場合が解ではないことを、代入確認の後、

方程式の両辺を (cosθ)2乗 で割れば、
tanθ についての二次方程式になる。
二次方程式を解いてから、tanθ=定数 を解けばよい。

No.4 回答者： tremolo741 回答日時： 2012/12/14 22:57

この問題に限らず三角関数全般に言えることですが、解決のコツはとにかく決まったカタチに持ち込むことです。

sin、cos、tanは処理が難しい関数ですのでなおのこと。
ハッキリ言って公式が頭に入っていない時点で門前払いを喰らう分野です。逆に言えば公式をハメるだけで答えが見えてくるオイシイ分野でもあります。
ですのであなたがまず手をつけたほうが良いのは教科書レベルの公式を式変形を追ってすらすらかける程度に仕上げることで左右どちらの変形もこなせるようになることです。
他の方が詳しい解説を書いて下さっているのでこの問題の式変形はそちらを参照してください。

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/14 18:20

2倍角公式

cos(2θ)=(cosθ)^2-(sinθ)^2

sin(2θ)=2sinθcosθ

で書きなおすと，

-(1/2)cos(2θ)+(1/2)sin(2θ)=0

cos(2θ)-sin(2θ)=0

左辺を合成すると

左辺=√2{cos(2θ)cos(π/4)-sin(2θ)sin(π/4)}

=√2cos(2θ+π/4)

よって

cos(2θ+π/4)=0

よってnを整数として

2θ+π/4=π/2+nπ

θ=π/8+nπ/2(n=0,±1,±2,・・・)（答）

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/14 17:17

sin 2θ =?

cos 2θ =?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/14 14:45

2倍角の公式を使ってみる.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

2倍角の公式を使って考えてみたんですが、
解くことができません。
どのように使えばいいのでしょうか。

お礼日時：2012/12/14 15:16