天使と悪魔（論理学）

この問題に苦戦しています。

天使は常に真実を述べ、悪魔は常に嘘をつく。A、Bは悪魔か天使であることはわかっているが、どちらかはっきりしない。Aがこう言った。
『私が天使ならば、Bは天使です。』
この二人の正体は以下のうちどれでしょう？

１．A、B共に天使
２．Aは天使、Bは悪魔
３．Aは悪魔、Bは天使
４．A、B共に悪魔

正解は１だろうと思うのですが、３ではないことをどうやって示せばいいのでしょうか。
３ではない理由がわかりません。
よろしくおねがいします。

No.7 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/02/21 09:24

Ｐ⇒Ｑという命題はＰ（仮定）が間違っているときは

「結論にかかわらず真」になる、ということをお聞きになったことはありますか。
真偽表で確認しておきます。

　　　ＰＱ　Ｐ⇒Ｑ
（ア）○○　　○
（イ）○×　　×
（ウ）×○　　○
（エ）××　　○
Ａが天使なら命題が真になるためにはＢも天使でなくてはならない。１です。

Ａが悪魔のときは（天使ならばという）仮定が間違っているから命題は真になってしまうので、
悪魔が正しいことを言ったことになります。

No.6 回答者： Michelina 回答日時： 2004/02/21 08:08

#1です。

問題文を誤解して読んでいました。#4さんのお答えで自分が何を誤解していたかよく分かりました。

質問者様、早とちった答えを提出してしまい、失礼しました。

No.5 回答者： Naka 回答日時： 2004/02/21 06:42

◆Naka◆

hyper-cubeさん、ありがとうございました。
おかげさまで勘違いに気付きました。

suzukikiraraさん、申し訳ありません。
私の回答の中の(2)ですが、
>そしてここには天使か悪魔の２種類しか存在しないので、『私が天使ならば、Bは悪魔です。』と言い換えることができます。
>必ず嘘をつく悪魔の言葉をひっくりかえしたので、この命題は「真」です。
の部分です。
ここで、この命題が「真」であるとすると、(1)の言葉（これも「真」）と矛盾しますので、この言葉はあり得ないことになってしまいます。
つまりBが悪魔ならば、こんな命題を言うことが不可能だということになります。
よって「Bが悪魔である」という(2)の前提自体が成り立たなくなりますので、「１」しか答えになり得ない、というのが正解です。
初歩的なミスをしてしまいました。
お詫びいたします。 m(_ _)m

No.4 回答者： hyper-cube 回答日時： 2004/02/21 05:58

Aガ悪魔の時『私が天使ならば、Bは天使です。

』は偽だから真なる命題は「私が天使でBが悪魔の時がある」になる。（上の命題の否定が正しい）だから3はただしくない。なぜならAが天使である可能性があるからです。同様に4もだめ。2はもちろんダメですから答えは1になります。
命題の否定について勉強してみたらよく分かります

No.3 回答者： Naka 回答日時： 2004/02/21 05:04

◆Naka◆

Aが天使である場合と、悪魔である場合の２通りに分けてみればよろしいでしょう。

(1)まずAが天使である場合
この場合は簡単ですよね。
Aが天使であるならば、Aの言葉は真実です。
つまり『私が天使ならば、Bは天使です。』という言葉が真実になります。
そして『私が天使ならば』という条件は満たしていますから、Bは天使、ということになります。
・ここではA、Bともに天使である、という結論になります。

(2)Aが悪魔である場合
この場合は、『私が天使ならば、Bは天使です。』という言葉自体が嘘ということです。
つまり正しくは、（つまり嘘でない言葉で表現すると）
『私が天使ならば、Bは天使ではない。』ということになります。
そしてここには天使か悪魔の２種類しか存在しないので、『私が天使ならば、Bは悪魔です。』と言い換えることができます。
ここで、ちょっと「命題」の用語をいくつか使わせていただきます。
必ず嘘をつく悪魔の言葉をひっくりかえしたので、この命題は「真」です。
ここで、この対偶命題を考えてみると、『Bが悪魔でなければ、私は天使ではない。』となります。
この命題は、さきほどと同様、『Bが天使ならば、私は悪魔です。』と書き換えることができます。
元の命題、『私が天使ならば、Bは悪魔です。』が「真」ですから、当然対偶命題も「真」になります。（元の命題が「真」→対偶命題も「真」）
さて、ここでAは悪魔という前提ですから、『Bが天使ならば、私は悪魔です。』という命題に当てはまり、この場合、Aが悪魔、Bが天使という結論になり得えます。
さらに、『Bが天使ならば、私は悪魔です。』が「真」であっても、その裏命題『Bが天使でない場合は、私も悪魔ではない。』が「真」であるとは限りませんから、Bが天使でない、かつ、私が悪魔である、という場合もあり得るわけです。
よって、この場合、
・Aが悪魔、Bは天使
・Aが悪魔、Bも悪魔
の２種類が考えられることになるでしょう。

つまり、
(1)、(2)で、考えられ得る全ての場合を抜き出すと、
質問文の、１、３、４に当たりますから、「２」だけがあり得ない、という結論になると思われます。
恐らく質問者さんの「３ではないことを示す」というのは、その問題の読み違えか、ミスプリント等の可能性が高いと考えられるのですが…

間違い等ありましたら、ご指摘ください。

No.2 回答者： you_sei 回答日時： 2004/02/21 04:02

これ、私も回答知りたいなぁ。

というのもＡが『私が天使ならば』と言った「仮定」は、Ａの本質に何ら影響を与えないですよね。Ａが『私が天使ならば』と言おうが『私が悪魔ならば』と言おうが、この「仮定」は

天使＝常に真実を述べ
悪魔＝常に嘘をつく

という本質には影響しないと思うのですが・・・。つまりＡの本質を特定する要因には、成り得ないのではないかと思うのです。

これが『私は天使です。Bは天使です。』とかいうのであれば、自分の本質を決めていますので、Ａの特定をできるかと思います。

とはいえ、Ａ，Ｂいずれも同じ属性の可能性もあるんですよね・・・

論理学では「仮定」の使い方も影響するのかなぁ

No.1 回答者： Michelina 回答日時： 2004/02/21 03:52

１．天使は嘘をつかないわけですから、Bが天使だとは言わない、だから、ありえない。

２．天使は嘘をつかないわけですから、Bが天使だとは言わない、だから、ありえない。
３．悪魔は常に嘘をつくわけですから、Bが天使なのに天使だとは言わない、だから、ありえない。
４．Aが、『私が天使ならば、Bは天使です。』 と言ったわけですから、（自分が天使でないのに天使だと言い、Bが悪魔なのに天使と言っている）、だから、ありえます。

ではないでしょうか。正解は４だと思います。