確率の計算について質問させて下さい。

サイコロを1の目が出るまでふり続ける場合の、平均回数の計算です。
1の目が出る確率は1/6ですので、これは6回目になると思います。

これに条件がついた場合の平均回数と、その計算式を知りたいです。
【条件 5回続けて1の目が出なかった場合は、6回目に必ず1の目が出る】

よろしくお願いします。

No.10 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/22 20:23

条件を「n-1回続けて1の目がでなかった場合は，n回目に必ず1の目が出る」としてこの特殊なサイコロをふってk回目に初めて１の目がでる確率をp_n(k)とすると，

k=1,・・・,n-1のとき

p_n(k)=(5/6)^{k-1}(1/6)

k=nのとき

p_n(n)=(5/6)^{n-1}

p_n(k)(k=1,・・・,n)は分布だから

Σ_{k=1}^np_n(k)=1

を満たします．さて，平均回数Eですが，

E=Σ_{k=1}^nkp_n(k)

=Σ_{k=1}^{n-1}k(5/6)^{k-1}(1/6)+n(5/6)^{n-1}

ここでx=5/6とおき，

S=Σ_{k=1}^{n-1}kx^{k-1}=Σ_{k=2}^nkx^{k-1}+1-nx^{n-1}
xS=Σ_{k=1}^{n-1}kx^k=Σ_{k=2}^n(k-1)x^{k-1}
(1-x)S=1+Σ_{k=2}^nx^{k-1}-nx^{n-1}=Σ_{k=1}^nx^{k-1}-nx^{n-1}
(1-x)S=(1-x^n)/(1-x)-nx^{n-1}

S(x)=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^{n-1}/(1-x)

∴E=(1/6)S(5/6)+n(5/6)^{n-1}

=(1/6){1-(5/6)^n}/(1/6)^2-(1/6)n(5/6)^{n-1}/(1/6)+n(5/6)^{n-1}

=6{1-(5/6)^n}-n(5/6)^{n-1}+n(5/6)^{n-1}=6{1-(5/6)^n}

n=6とすれば掲載の問題の答

E=31031/7776≒4

がでてきます．n→∞とすれば条件をつけない場合の期待値

E→6

がでてきます．

No.9 回答者： kuppahime 回答日時： 2012/12/22 17:58

それは、

6回中1回　だけ　が１になったことと同じです。

さいころの目は6つしかない、
最初の5回は1以外

つまり、6分の５の確率です。

それが5回連続で、続くということは、

　6分の5　×　6分の5　×　6分の5　×　6分の5　×　6分の5
＝6分の5　の5乗
＝6の5乗　分の　5の5乗　
＝　7776　分の　3125

この後に、1が当たる確立＝6分の１をかけます。
　7776　分の　3125　×　6分の１
＝46656分の3125
≒0・06697959
＝6.697959％

No.8 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/12/22 17:57

#3です。

#4さんのご指摘の通りです。
回答No.3は無視して下さい。

No.7 回答者： noname#171525 回答日時： 2012/12/22 17:54

条件付き平均を尋ねている質問を読み違えて

(1以外, 1以外, 1以外, 1以外, 1以外, 1)
が最初に現れるまでの平均回数を答えてしまいました。
すみません。
martingaleうんぬんは忘れてください。

No.6 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/12/22 17:34

#4です。

#1さんと書いてしまいましたが、#3さんの計算についてのコメントでした。
すいません。

No.5 回答者： noname#171525 回答日時： 2012/12/22 17:28

>サイコロを1の目が出るまでふり続ける場合の、平均回数の計算です。

>1の目が出る確率は1/6ですので、これは6回目になると思います。

そう、平均で6回目です。

>これに条件がついた場合の平均回数と、その計算式を知りたいです。
>【条件 5回続けて1の目が出なかった場合は、6回目に必ず1の目が出る】

5回続けて1以外、そのすぐ後1という事だとすると、
これも最初の問題もmartingaleのよく知られた応用例です。
詳細はmartingale, stopping timeについて調べてください。
大体以下のような考え方。

「1の目が出る」をA、「2,...,6の目のいずれかが出る」をBとし、
AかBか、公平な賭けを繰り返し行っているカジノを考える。
毎回1人ギャンブラーが参加し、まずBに1賭ける。
負けたら退出。
勝ったら賞金6/5を、2回目のBに賭ける。
…
5回目まで勝ったら賞金(6/5)^5をAに賭ける。
6回目も勝ったら賞金(6/5)^5+6を得て退出。

問題の回をTとすると、
T=最初に6連続勝者が出る回。
E(T)が有限であることはすぐ示せる。
Y_tをt回目までにカジノで生じたギャンブラーたちの総利益とおくと
Y_tはmartingale。
Doobの定理からE(Y_T)=0。
Y_T=-(T-6)+(6/5)^5+6-1だから
E(T)=11+(6/5)^5でいいかと思います。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/12/22 17:26

こんばんわ。

＞サイコロを1の目が出るまでふり続ける場合の、平均回数の計算です。
＞1の目が出る確率は1/6ですので、これは6回目になると思います。
その推測は合っています。
#1さんは 6回目までで期待値の和を止めていますが、
期待値を求めるには無限回までの和を求めなければなりません。

Σ[k=1～n] k*(5/6)^(k-1)の和を計算できれば、
そのあとn→∞の極限をとることで 6回が答えになります。


＞これに条件がついた場合の平均回数と、その計算式を知りたいです。
＞【条件 5回続けて1の目が出なかった場合は、6回目に必ず1の目が出る】
これは上の計算を途中（5回目）までで止め、6回目を足す形になります。
#2さんが計算されているとおり、約4回が答えになります。

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/12/22 17:04

1の目が出る確率は1/6ですので、これは6回目になると思います。

＞違います。以下の通り平均約2回です。
1回目に1が出る確率=1/6
2回目に初めて1が出る確率=(5/6)*(1/6)=5/36
3回目に初めて1が出る確率=(5/6)^2*(1/6)=25/216
4回目に初めて1が出る確率=(5/6)^3*(1/6)=19/197
5回目に初めて1が出る確率=(5/6)^4*(1/6)=77/958
6回目に初めて1が出る確率=(5/6)^5*(1/6)=57/851
期待値=1*(1/6)+2*(5/36)+3*(25/216)+4*(19/197)
+5*(77/958)+6*(57/851)≒1.98
【条件 5回続けて1の目が出なかった場合は、6回目に必ず1の目が出る】
＞何回続けて1の目が出なくても、次に必ず1の目が出る
ということはありません。よって、その確率はゼロです。

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/12/22 16:45

>条件 5回続けて1の目が出なかった場合は、6回目に必ず1の目が出る

上記のような特殊な振る舞いをするサイコロだとして、この条件以外の時は普通のサイコロのように振る舞うなら、
1回目で１が出る確率　　　　　　1/6
2回目で初めて１が出る確率　　　5/6*1/6
3回目で初めて１が出る確率　　　5/6*5/6*1/6
4回目で初めて１が出る確率　　　5/6*5/6*5/6*1/6
5回目で初めて１が出る確率　　　5/6*5/6*5/6*5/6*1/6
6回目では必ず１が出るのだから　5/6*5/6*5/6*5/6*5/6* 1
それぞれの確率に回数を掛けて合計すれば　平均回数　約4回

質問意図と合っているかは自信なし。

この回答へのお礼

ありがとうございます、意図と合っています。

これをもう少し大きい数字で計算したいと考えていますので、簡単な数式に落とし込みたいと思って質問しました。
出来なさそうであれば、回数毎のループで実現したいと思っています。

お礼日時：2012/12/22 17:01

No.1 回答者： shintaro-2 回答日時： 2012/12/22 16:19

>1の目が出る確率は1/6ですので、これは6回目になると思います。

意味不明

イカサマさいころでなければ、　いつでも１の出る確率は１／６

１万回振っても１が出ないことは、確率が低いだけで有りうること。

>【条件 5回続けて1の目が出なかった場合は、6回目に必ず1の目が出る】

「必ず」ということはないので、その意味での確率は”０”

５回続けて１の目が出ない確率は（5/6）^5