曲げモーメントはなぜ釣り合うことができる？

Question

軸応力は部材のどの点をとっても大きさが同じで向きが反対の力で釣り合いますが、
例えば中央がPL/4となる集中荷重を受ける単純梁は中央部分の点は一対で
左右とも同じ曲げモーメントが生じますが、
それ以外の点は応力の勾配があるため、
任意の点の曲げモーメントは左右で大きさが同じで向きが反対の一対の曲げモーメントは生じていないことになりますが
なぜ梁は静止していられるのでしょうか？

ddtddtddt · Accepted Answer

#6です。

＞数学と言うよりも、現実の現象に納得がいかないといったところでしょうか。

これには、何とか応えられそうです。

・・・とは言え、微分や微分係数は存在論的に、やはり微妙な立ち位置ですよね。例えば瞬間速度は人間のでっち上げなのか？（現象を説明する数学的パラメータという意味で）、それとも現実に存在するのか？、などと考えだすと・・・。

現実に存在するとすると、「瞬間には動いていないのに、瞬間速度とは是如何に？」だし、でっち上げだとするとスピードメーターなんか信じてられなくなる。スピードメーターは近似的な瞬間速度測定器だから・・・(^^)。

と、こんな事ばかり言ってても仕方ないので、添付図を見て下さい。

じつは自分は（あくまで自称ですが）、構造力学のベテランです。昔あなたと同じように、曲げモーメントが金太郎飴にならない事に違和感をおぼえたのを、思い出しました。そのとき、次のように考えて納得しました。

集中荷重を受ける単純梁の一部を、切り出して考えます。図の部材長Lは微小でもL→0でもなく、有限の大きさです。切り出した部材の力の釣り合いを考えます。水平力は省略できるので、鉛直力と力のモーメントを考えれば十分です。

鉛直力の釣り合いから、せん断力Ｓは、金太郎飴状態になるのがわかりますが、次に力のモーメントの釣り合いを考えると・・・。

左右断面でせん断力の方向は逆向きです。これは鉛直力の釣り合い条件からの要請事項です。しかしそうなると、例えば部材の中点に回転中心を置いて力のモーメントを計算すれば、せん断力はＳ・Lの回転力を与えます。

※静止物体において、モーメント計算の中心は任意の場所にとれます。
　　　この事は構造力学ではふつう、うやむやにされますが、中心がどこにあっても、結果は同じです。
　　　数学的に証明できます。

ところが、せん断力による回転力Ｓ・Lに対抗しうるものは、材端の曲げモーメントＭ1とＭ2だけであり、曲げモーメントとは力のモーメント（偶力）です。従って、

Ｍ2－Ｍ1＋Ｓ・L＝0

すなわち、

Ｍ2－Ｍ1＝－Ｓ・L　　　(1)

でなければなりません。よって、Lを変化させて考えれば明らかなように、「曲げモーメントＭは、直線勾配を持つよね」という話になります。

ここでのミソは、鉛直力の釣り合い条件の要請で、

・せん断力は、回転力を生じさせてしまう事．
　　・その結果、曲げモーメントとせん断力は連成する．

この2点です。

曲げモーメントとせん断力が連成する事がわかってしまうと、「じゃあ、一般の場合はどうなのさ？」と話は発展します。例えば集中荷重でなく、梁全体に分布荷重が載っかるような場合です。

そのような場合、(1)のようなやり方では、とても不便なのがすぐわかります。そこで微分の考えが登場します。

・L→dx→0と、ぎゅ～っと縮めて考えれば、曲げモーメントは常に直線勾配だよね？．
　　・直線勾配なら、いつでも(1)だよね？．
　　・それが微分の言ってる事だよね？．

・・・です(^^)。

実際に(1)と「同じ」計算をすると添付図のようになり、dM/dx＝－Ｓ(x)が導かれます。

・曲げモーメントが金太郎飴にならないのに釣り合う原因は、dM/dx＝－Ｓ(x)に尽きるのね．

・・・と、自分は納得しました。

ddtddtddt · Answer

#5です。

＞文面では難しいです…

・・・どこに違和感があるか、わかりました（と思います(^^)）。それで状況を整理してみます。

集中荷重を受ける単純梁のせん断力は、金太郎飴(^^)と言えるのですから、梁理論における次の関係式は見た事ないでしょうか？。

dM/dx＝－S(x)　　　(1)
　　dS/dx＝q(x)　　　　　(2)

xは部材に沿った座標，M(x)は位置xでの（切断面での）曲げモーメント，S(x)は位置xでのせん断力，q(x)は梁に対する横荷重（分布荷重）で、力の線密度です。

(1)，(2)は、「切断面で内力は釣り合うという前提」で導かれる関係式です。逆に言えば、「切断面で釣り合うためには」、「曲げモーメントは、せん断力に等しい勾配を持たなければならない」、という事になります。これが「微分で考えれば・・・」という、あなたの発言でしょうか？。

という訳なので、

＞力学で静止している部材のある点は全て釣り合いが保てていると言う仮定がなぞなんです。

に、数学的証明はありません。これは力学的な経験事実です。そこに数学を適用したら、(1)，(2)が出て来たという事であり、各切断面で(1)，(2)を認めてつないで行くと、構造系全体の釣り合い状態を再現できます。つまり支点反力と材端断面力の力の釣り合いから計算する、断面力計算の普通の解法を導けます。

でも気持ちはわかりますよ・・・(^^)。

そしてこの気持には、すごく応えずらいんです。何故ならその気持ちは、関数f(x)が勾配を持ちdf/dx≠0のとき、f(x)の値は、その両側で違うんじゃないの？、という疑問に一般化できるからです。

上記を突きつめると、瞬間には動いていないのに、瞬間速度ありとは是如何に？、という疑問になります。よってあなたの気持ちは、けっきょく微分の本質を問うているように思えます。ものが力学だけに、よりその違和感が鮮明になった気がします。

誰でも最初はそのような違和感を持ちますが、「勾配と、その点での関数値は別物よ(^^)」という事を、みんないつかは受け入れ（受け入れると正解が出るから）、違和感を忘れるか押し殺すのが、実情でしょう。

私は自分なりに、その違和感に対する「言い訳」をみつけましたが今回は、「勾配と、その点での関数値は別物よ」、で納得して頂けないでしょうか・・・(^^；)。

ddtddtddt · Answer

#3です。

＞微小で考えていますが曲げモーメントは
軸方向力とせん断力とは違い、左右の差で応力勾配ができるわけですので
材端部及びせん断力が発生しない部分以外の任意の部分では左右で釣り合っていないと考えられるのに・・・

ここのイメージが沸かないんですよね・・・(^^；)。どんなケースを指して言ってるのでしょうか？。軸力だってせん断力だって、左右の差で応力勾配は出来ますから・・・？。

tadys · Answer

モーメントが釣り合っていないという事はその場所で加速度が生じると言う事でしょう。
梁に限らず物体が静止している以上、その物体に働く合力はゼロにならざるを得ないのでは。

ddtddtddt · Answer

⊿→0以外の⊿≠0では（これも変な言い方ですが）、もちろん左右でモーメントは違います。なので、⊿→0の極限で考えた話なのだよ、というのが一般的な回答なんですが、曲げモーメントの勾配がわかってらっしゃるという事は、曲げモーメント図（ベンディング・モーメント・ダイアグラム＝B.M.D.）はご存知ですよね？。

B.M.D.は、左右支点のどちら側から計算して行っても良いですが、左右のB.M.D.を比べると、梁の同じ地点の曲げモーメントは必ず、同じ大きさで符号が逆になりますよね？（釣り合い方程式の結果だから）。

じつはこれは、梁を2つに分けて曲げモーメントという内力を考えた時に、左構造の右端断面と、右構造の左端断面とには、同じ大きさの釣り合う内力が作用する、という事実を述べただけなんです。右端断面を曲げモーメントＭで曲げてるのは、左端断面ですよね？。作用・反作用の法則から、左端断面は右端断面から、ーＭの曲げモーメントを受ける、という話に過ぎません。

何故こんな事を、⊿→0の極限なんかを持ちだして語りたがるかと言うと、梁の曲げ微分方程式なんかを導くときに、⊿→0の厚みの微小要素を使うと、話が直感的になるからです。それ以上の事ではありません。

smzs · Answer

＞微小断面での考え方で疑問に思ってしまいまして。
＞応力勾配上の任意のある点の微小断面では点の左右で⊿xの距離分だけ
＞モーメントの大きさが違うことになりますが

この部分に疑問（勘違い？）の原因があるようです。

内部の"ある場所"での釣り合い、ということですから、「その位置」での釣り合い、ということになります。つまり、大きさを持たない一つの点（はりで考えると　厚さを持たない一つの断面）での釣り合い、ということですね。
　ですから、⊿x＝０というわけです。大きさ（厚さ）持った物体（の一部　＝　はりの一部）ということではありません。

同じ場所に対して、「左から作用する曲げモーメント」と「右から作用する曲げモーメント」が釣り合っている、ということであり、その絶対値は等しくなります。

構造力学／材料力学の入門書などでは、この「ある場所」について、大きさ（厚さ）を持ったような絵で説明する場合がありますが、あくまで、それは説明のためであり、その物体の大きさ（はりを輪切りにしたときの長さ（厚さ））はゼロ、ということです。

ryoshiki1978 · Answer

通りすがりですが、質問の意味が分かりません。
ただ、梁が静止していられるのは梁が両端で支持されているからですよね？
そして支持の形式（固定・回転自由）により支持部への反力が変わる。この
当たりにヒントがあるのでしょうか？単純な話ほど奥が深いですよね・・・

曲げモーメントはなぜ釣り合うことができる？

#6です。

#5です。

#3です。

モーメントが釣り合っていないという事はその場所で加速度が生じると言う事でしょう。

⊿→0以外の⊿≠0では（これも変な言い方ですが）、もちろん左右でモーメントは違います。

＞微小断面での考え方で疑問に思ってしまいまして。

通りすがりですが、質問の意味が分かりません。

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