ベクトルの問題なのですが、、、教えてください！

１辺の長さ４の正三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを１：３に内分する点をＤとする。
また、ｘ、ｙを実数としてＡＰ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣで定められる点Ｐがあり、線分ＣＰの中点をＱとする。
点Ｑが直線ＡＤ上にあるときｘ、ｙはｘ－□ｙ＝□を満たす。
また、ＣＱ⊥ＡＤであるときｘ、ｙは□ｘ＋□ｙ＝□を満たす。
このときＡＱ＝□/□ＡＤとなり、三角形ＡＱＣの面積は□√□/□となる。

解き方が全く分かりません。
詳しい解説をどうぞよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/01/16 12:18

点Ｑが直線ＡＤ上にあるときｘ、ｙはｘ－□ｙ＝□を満たす。

＞ベクトルABを↑ABと書きます。
↑AD=↑AB+(1/4)↑BC=↑AB+(1/4)(↑AC-↑AB)=(3/4)↑AB+(1/4)↑AC
z(≠0)を実数として↑AQ=z↑AD=(3/4)z↑AB+(1/4)z↑ACとすると、
↑CQ=↑AQ-↑AC=(3/4)z↑AB+(1/4)z↑AC-↑AC=(3/4)z↑AB+(z/4-1)↑AC
↑QP=↑CQだから
↑AP=↑AQ+↑QP=(3/4)z↑AB+(1/4)z↑AC+(3/4)z↑AB+(z/4-1)↑AC
=(3/2)z↑AB+(z/2-1)↑AC、これがx↑AB+y↑ACだから係数を比較して、
x=(3/2)z、y=z/2-1、zを消去してx-3y=3・・・答
また、ＣＱ⊥ＡＤであるときｘ、ｙは□ｘ＋□ｙ＝□を満たす。
＞ベクトルの内積を↑・↑で表します。
↑AQ・↑CQ={(3/4)z↑AB+(1/4)z↑AC}・{(3/4)z↑AB+(z/4-1)↑AC}
=(3/4)z↑AB・(3/4)z↑AB+(3/4)z↑AB・(z/4-1)↑AC
+(1/4)z↑AC・(3/4)z↑AB+(1/4)z↑AC・(z/4-1)↑AC}
={(3/4)z|AB|}^2+(3/4)z(z/4-1)|AB||AC|cosπ/3
+(1/4)z(3/4)z|AC||AB|cosπ/3+(1/4)z(z/4-1)|AC|^2
={(3z}^2+(3/4)z(z/4-1)*4*4*(1/2)
+(1/4)z(3/4)z*4*4*(1/2)+(1/4)z(z/4-1)*4^2
=9z^2+3z(z-4)/2+3z^2/2+z(z-4)=13z^2-10z=0からz≠0なのでz=10/13
x=(3/2)z=(3/2)(10/13)=15/13、y=z/2-1=5/13-1=-8/13
よってx+y=15/13-8/13=7/13だから13x+13y=7・・・答
このときＡＱ＝□/□ＡＤとなり、
＞↑AQ=z↑ADとしたので、10/13・・・答
三角形ＡＱＣの面積は□√□/□となる。
＞△AQCの面積=(10/13)△ADCの面積、△ADCの面積=(3/4)△ABCの面積
だから△AQCの面積=(10/13)(3/4)△ABCの面積
=(15/26)(1/2)4*4*sinπ/3=(60/13)(√3/2)=30√3/13・・・答

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

とても役に立ちました！

お礼日時：2013/01/16 17:02

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2013/01/16 12:58

＞１辺の長さ４の正三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを１：３に内分する点をＤとする。

＞ また、ｘ、ｙを実数としてＡＰ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣで定められる点Ｐがあり、線分ＣＰの中点をＱとする。
AD＝(3/4)AB＋(1/4)AC　……(1)　　CQ＝(1/2)CP　……(2)
|AB|＝|AC|＝4
AB・AC＝|AB|・|AC|・cos60°＝4・4・(1/2)＝8

＞ 点Ｑが直線ＡＤ上にあるときｘ、ｙはｘ－□ｙ＝□を満たす。
(2)より、AQ－AC＝(1/2)(AP－AC)
AQ＝(1/2)AP＋(1/2)AC
＝(1/2){xAB＋yAC}＋(1/2)AC
＝(1/2)xAB＋(1/2)(y＋1)AC　……(3)
点Ｑが直線ＡＤ上にあるから、AQ＝kAD　……(*)　とおける。
AQ＝(3/4)kAB＋(1/4)kAC　……(4)
(3)(4)より係数比較すると、
(1/2)x＝(3/4)k，(1/2)(y＋1)＝(1/4)k　……(**)
ｋを消去して、k＝(2/3)x　y＋1＝(1/2)k＝(1/2)・(2/3)x
(1/3)x－y＝1より、よって、x－3y＝3　……(5)

＞ また、ＣＱ⊥ＡＤであるときｘ、ｙは□ｘ＋□ｙ＝□を満たす。
CQ・AD＝0だから、(1)(3)より、
(AQ－AC)・AD＝AQ・AD－AC・AD
＝{(1/2)xAB＋(1/2)(y＋1)AC}・{(3/4)AB＋(1/4)AC}－AC・{(3/4)AB＋(1/4)AC}
＝(3/8)x|AB|^2＋(1/8)x(AB・AC)＋(3/8)(y＋1)(AC・AB)＋(1/8)(y＋1)|AC|^2
　　　　　－(3/4)(AC・AB)－(1/4)|AC|^2
＝(3/8)x・16＋(1/8)x・8＋(3/8)(y＋1)・8＋(1/8)(y＋1)・16－(3/4)・8－(1/4)・16
＝6x＋x＋3(y＋1)＋2(y＋1)－6－4
＝7x＋5ｙ－5
＝0
よって、7x＋5y＝5　……(6)

＞ このときＡＱ＝□/□ＡＤとなり、三角形ＡＱＣの面積は□√□/□となる。
(5)(6)の連立方程式を解くと、
x＝15/13，y＝-8/13　……(7)
(**)のどちらかの式に代入して、ｋ＝10/13
よって、(*)より、AQ＝(10/13)AD　……(8)

QはAD上の点だから、AQ⊥CQより、△AQCは直角三角形
(1)より、
|AD|^2＝|(3/4)AB＋(1/4)AC|^2
＝(9/16)|AB|^2＋2・(3/4)・(1/4)・(AB・AC)＋(1/16)|AC|^2
＝(9/16)・16＋(3/8)・8＋(1/16)・16
＝13　より、AD＝√13
(8)より、AQ＝(10/13)・√13＝10/√13

(7)より、AP＝(15/13)AB－(8/13)AC
(2)より、
CQ＝(1/2)CP＝(1/2)(AP－AC)
＝(1/2)[{(15/13)AB－(8/13)AC}－AC]
＝(1/2)(1/13)(15AB－21AC)
|CQ|^2
＝(1/2)^2・(1/13)^2{15^2|AB|^2－2・15・21（AB・AC)＋21^2|AC|^2}
＝(1/2)^2・(1/13)^2・(15^2・16－2・15・21・8＋21^2・16)
＝(1/2)^2(1/3)^2・16（15^2－15・21＋21^2）
＝(1/2)^2(1/3)^2・16・351
＝(1/2)^2(1/3)^2・16・3^3・13　より、
CQ＝(1/2)・(1/13)・4・3√3・√13
＝6√3/√13
よって、
△AQCの面積＝(1/2)AQ・CQ
＝(1/2)・(10/√13)・(6√3/√13）
＝30√3/13

図が描けなかったので、計算だけで解きました。
計算が少し大変ですが、確認してみてください。