f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)

のグラフは点対称であることを示し、点対称の中心を求めよ



解き方を教えてください

No.8 ベストアンサー 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 21:18

> 例えば三角形だったら、三角形の中の点Aに対して対称点Pを挟んだ反対側の点A'もまたその図形に含まれる

> の三角形は点Pで対称になってる場合ということですか？

……え？
この文は回答No.6のあなたの補足から持ってきたものなんですが、そのつもりでそう書いたんじゃないんですか？

とはいえ、三角形は1個だけではつぶれない限り点対称にはなりません。

この回答へのお礼

すみません ようやく分かりました
長々とありがとうございました

お礼日時：2013/02/13 21:28

No.7 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 20:34

> 例えば三角形だったら、三角形の中の点Aに対して対称点Pを挟んだ反対側の点A'もまたその図形に含まれるということですか？

そのとおり、その図形が本当に点Pに対して点対称になっているならです。

> でも対称点Pが三角形の外にあったら必ずA'は三角形の外に行くような気がしますが
これもそのとおり。でもよく考えてください、その三角形は点Pに対して本当に点対称になっていますか？

この回答への補足

例えば三角形だったら、三角形の中の点Aに対して対称点Pを挟んだ反対側の点A'もまたその図形に含まれる

の三角形は点Pで対称になってる場合ということですか？

補足日時：2013/02/13 21:02

No.6 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 19:38

> X'(2p-x, 2f(p)-f(x))がグラフ上にあることを言うから、f(2p-x)=2f(p)-f(x)となるのは何故ですか？

> Pを対称点とするXに対称な点X'のx座標を元の関数f(x)に入れると綺麗に対称なグラフになるのですか？
……やっとわかりました。あなたが何に詰まっているかを。

あなたは点対称のイメージを「ある図形をある点で180度回転させると元の図形になる」とお考えのようです。
確かにそれも正しいイメージですが、「対称点であるある点があって、ある図形に含まれる任意の点に対して対称点を挟んで反対側の点も必ずその図形に含まれる」という見方もあります。
というか、数式で扱う場合ではこちらのほうが扱いやすくなります。
今回のあなたの1行目の疑問に対する答えは、「それが点対称であることを示すのに必要だから」です。
2行目は……なんか後者のイメージを持たないため自身で言っている意味を理解できずに疑問を投げているように見えます。
あなたが挙げられた式で言いたいのは、あくまである図形に含まれる点にたいして、対称点とされる点を挟んだ位置の点が問題の図形に必ず含まれるか否かです。
なぜそれを確認する必要があるかと言えば、それが点対称であるということを示すための手段だからです。

この回答への補足

「対称点であるある点があって、ある図形に含まれる任意の点に対して対称点を挟んで反対側の点も必ずその図形に含まれる」
とはどういうことですか？
例えば三角形だったら、三角形の中の点Aに対して対称点Pを挟んだ反対側の点A'もまたその図形に含まれるということですか？
でも対称点Pが三角形の外にあったら必ずA'は三角形の外に行くような気がしますが

補足日時：2013/02/13 19:52

No.5 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 17:53

> XのPに対して反対側の同距離にある点がX+2(P-X)となるのは何故ですか？

……ごめん、これ見たとき「位置ベクトルについて勉強しなおしてください」とだけ書きたくなった。

Xから見たPの位置はP-Xであらわせるので、それをその距離のままその方向に延ばせばXから見た反対側の点の位置になります(2(P-X))。
それを元の座標系で表すためにXを足しています。

この回答への補足

位置ベクトルで考えると分かりました
原点Oとする
XP↑=OP↑-OX↑
Pを対称点とするXの対称な点をX'とすると
XX'=2XP↑=2(OP↑-OX↑)
∴OX'↑=OX↑+XX'↑=OX↑+2(OP↑-OX↑)
Oは原点なので座標で表せば
X'=X+2(P-X)
でした

X'(2p-x, 2f(p)-f(x))がグラフ上にあることを言うから、f(2p-x)=2f(p)-f(x)となるのは何故ですか？
Pを対称点とするXに対称な点X'のx座標を元の関数f(x)に入れると綺麗に対称なグラフになるのですか？

補足日時：2013/02/13 18:18

No.4 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 17:18

十分条件、ですか……。

では、このグラフ上の任意の点(x, f(x))に対して、点対称の中心として求めた点に対して反対側の同距離にある点の座標を計算して、その点がグラフの上にあることを示してはいかがでしょう。

X=(x, f(x)), P=(p, f(p))（ここではまだ先に求めた値は使いません。必要になった時に展開します）とおくと、XのPに対して反対側の同距離にある点は
X+2(P-X)=2P-X=(2p-x, 2f(p)-f(x))
になります。これがグラフ上にあることを言うのですから、
f(2p-x)=2f(p)-f(x)
が成り立つ必要があります。これを展開すると、
f(2p-x)=a(2p-x)^3+b(2p-x)^2+c(2p-x)+d
　　　　=　　（略：2pの累乗が複数出るが括弧は必要になるときまで外さない）
となります。ここで、-f(x)を作るために調整すると、
　　　　=　　（略）
となり、さらに2f(p)を作るために2pにかかっている括弧を外すと、
　　　　=　　（略）
となりますが、p=-b/3aですから2番目の括弧は0となり、1項目が0ということになります。したがって、
f(2p-x)=2f(p)-f(x)
が証明されたことになります。

略の部分は自分で計算しましょう。ここで答を書いちゃうとあとであなたのためになりませんので。

この回答への補足

XのPに対して反対側の同距離にある点がX+2(P-X)となるのは何故ですか？

補足日時：2013/02/13 17:29

No.3 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 15:42

> x{ax^2+(3ap+b)x+c}=0からどうすればいいのですか？中かっこの中が上手く因数分解できず(xの式)×(pの式)=0になりません

はい？
……と思ってあなたの計算結果をよく見ると（すみません、前の回答ではよく見ていませんでした）、間違ってますねこれ。
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
ですから、
f(p+x)=a(p+x)^3+b(p+x)^2+c(p+x)+d
　　　　=ap^3+3ap^2x+3apx^2+ax^3+bp^2+2bpx+bx^2+cp+cx+d
　　　　=(ap^3+bp^2+cp+d)+(3ap^2+2bp+c)x+(3ap+b)x^2+ax^3
　　　　=f(p)+(3ap^2+2bp+c)x+(3ap+b)x^2+ax^3,
f(p-x)=a(p-x)^3+b(p-x)^2+c(p-x)+d
　　　　=ap^3-3ap^2x+3apx^2-ax^3+bp^2-2bpx+bx^2+cp-cx+d
　　　　=(ap^3+bp^2+cp+d)-(3ap^2+2bp+c)x+(3ap+b)x^2-ax^3
　　　　=f(p)-(3ap^2+2bp+c)x+(3ap+b)x^2-ax^3
となります。たぶんあなたはどちらかあるいは両方の計算が違っているはずですので見直してみてください。

この回答への補足

中点のy座標はf(p)+(3ap+b)x^2になりました
これがf(p)に等しいから
0=(3ap+b)x^2
(x=0で成り立つ、x≠0とすると)p=-b/3a
つまり点対称の中点は(-b/3a,f(-b/3a))
になりました
ようやくできました
ありがとうございました
ただ、これは必要条件のみで、点対称であることを示すには十分条件が必要なのですがそれはどうするのでしょうか？

補足日時：2013/02/13 16:05

No.2 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/13 08:32

> ap^3+bp^2+(3ax^2+c)p+(ax^2+bx+c)x+d=ap^3+bp^2+cp+dとしても単なるpとxの式が出るだけで決定ができませんが

よく考えましょう、この式がどんなxに対しても成り立つ必要があります。
この式を整理すると(xの式)×(pの式)=0の形になるはずです。これが「どんなxに対しても」成り立つということは……。

この回答への補足

x{ax^2+(3ap+b)x+c}=0からどうすればいいのですか？中かっこの中が上手く因数分解できず(xの式)×(pの式)=0になりません

補足日時：2013/02/13 15:03

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2013/02/12 20:45

このグラフが点対称ということは、ある点(p, q)があって、任意のxに対して(p-x, f(p-x))と(p+x, f(p+x))との中点が(p, q)になるということです。

この文でx=0とすると、「(p, f(p))と(p, f(p))との中点が(p, q)になる」ため、q=f(p)となります。
あとは、文「(p-x, f(p-x))と(p+x, f(p+x))との中点が(p, f(p))になる」を式として表し、その式を整理したのち、xがどんな値でも成り立つようにpを決定します。

どう整理すればいいかは自分で考えましょう。

この回答への補足

(p-x, f(p-x))と(p+x, f(p+x)の中点は
(p,ap^3+bp^2+(3ax^2+c)p+(ax^2+bx+c)x+d)
となり、(p,f(p))は
(p,ap^3+bp^2+cp+d)
となりました
ここからどうやってpを決定するのですか？
ap^3+bp^2+(3ax^2+c)p+(ax^2+bx+c)x+d=ap^3+bp^2+cp+dとしても単なるpとxの式が出るだけで決定ができませんが

また、このグラフが点対称ということは、ある点(p, q)があって、任意のxに対して(p-x, f(p-x))と(p+x, f(p+x))との中点が(p, q)になるということなのは何故ですか？

補足日時：2013/02/12 21:33