物理学（運動方程式）

この問題の解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。
あるロケットが相対速度u0で単位時間あたり質量μの燃料を噴射して上昇している。
ロケットの燃料噴射前の質量をm0、初速度をv0 = 0とする。
このとき時刻tにおける速度を求めよ。
答え・・・ u0 log (m0 /( m0 - μt)) - gt

上方を正として、
噴射前：p(t) = m0 v
噴射後：p(t+Δt) = (m0 - μΔt)*(v + Δv) + μΔt (v - u0)
f = -mg
ここまでは合ってると思うのですが、運動方程式の立て方が分かりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2013/02/24 03:51

>噴射後：p(t+Δt) = (m0 - μΔt)*(v + Δv) + μΔt (v - u0)

　
質量の評価がちょっとマズイです。出発時(ｔ＝０)からｔ＋dｔまでの時間ではなく、
　出発後、ｔ～ｔ＋dｔ　の短時間での運動量の変化
を評価する必要があります。
　
時刻　ｔ　で、ロケットの質量がｍ，速度がｖだったとしましょう。上向きを正とします。
ｍやｖは、時間の関数ｍ(ｔ)やｖ(ｔ)と書くべきでしょうが、面倒なので略記しました。
このとき、系の運動量Ｐは
　Ｐ＝ｍ・ｖ
この後　dｔ　の間に、ガスを噴出します。噴出した後の
ロケットの運動量Ｐ1は
　Ｐ1＝(ｍ－μ・dｔ)・(ｖ＋dｖ)
吐き出されたガスの運動量Ｐ2は
　Ｐ2＝(μ・dｔ)・(ｖ＋dｔ－ｕ0)
　＝(μ・dｔ)・(ｖ－ｕ0)＋(μ・dｔ・dｔ)
ですが、２次以上の微小量は無視して
　Ｐ2＝(μ・dｔ)・(ｖ－ｕ0)
としてかまいません。
　
こうして、ｔ～ｔ＋dｔの期間の、系の運動量の変化 dＰは
　dＰ＝Ｐ1＋Ｐ2－Ｐ
　＝ｍ・dｖ－μ・ｕ0・dｔ　式（ア）
と評価できます。なお、ここでも展開の過程で、(dｔ)^2が現れますが微小量なので無視します。
　dＰ/dｔ
は、系が受けている力ですから、ロケットとガスの系(両者合わせて、質量ｍ)が受ける重力がそれです。
　dＰ/dｔ＝－ｍｇ　式（イ）
です。式（ア）の両辺をdｔで除した形から
　dＰ/dｔ＝ｍ・(dｖ/dｔ)－μ・ｕ0
ですから、（イ）と比較して
　ｍ・(dｖ/dｔ)－μ・ｕ0＝－ｍｇ　（ウ）
となります。これが、運動方程式になっています。
　
あとは、この（ウ）の微分方程式を解くだけです。
（ウ）を見易い形に書き直します。
　dｖ/dｔ＝－ｇ＋(μ・ｕ0/ｍ)
ここで、ｍはｔの関数でしたから
　ｍ＝ｍ０－μ・ｔ
です。これを上の微分方程式に、顕わに書き出します。
　dｖ/dｔ＝－ｇ＋(μ・ｕ0/(ｍ0－μ・ｔ))
両辺に　dｔを掛けてやると
　dｖ＝－ｇ・dｔ＋(μ・ｕ0/(ｍ0－μ・ｔ))・dｔ
と、変数分離された形になっています。両辺を積分して
　ｖ＝－ｇ・ｔ＋μ・ｕ0・∫(1/(ｍ0－μ・ｔ))・dｔ
第２項は
　ｍ0－μｔ＝ｘ　（エ）
とでも置き直してやれば積分は簡単になります。
（エ）の両辺をｔで微分すると
　－μ・dｔ＝dｘ
ですから、
　μ∫(1/(ｍ0－μ・ｔ))・dｔ＝∫(－1/ｘ)・dｘ
∴ｖ＝－ｇ・ｔ－ｕ0・log(x)＋Ｃ
　＝－ｇ・ｔ－ｕ0・log(ｍ0－μｔ)＋Ｃ
Ｃは積分定数です。初期条件からＣを決定します。
ｔ＝０でｖ＝０でしたから
　０＝Ｃ－ｕ0・log(ｍ0)
∴Ｃ＝ｕ0・log(ｍ0)
∴ｖ＝－ｇ・ｔ－ｕ0・log(ｍ0－μｔ)＋ｕ0・log(ｍ0)
　＝－ｇ・ｔ＋ｕ0・{log(ｍ0)－log(ｍ0－μｔ)}
　＝－ｇ・ｔ＋ｕ0・log(ｍ0/(ｍ0－μｔ))

この回答へのお礼

ありがとうございます。
理解出来ました。

お礼日時：2013/02/26 12:19

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2013/02/23 21:37

運動方程式

Δp/Δt = -mg

において，
Δp = p(t+Δt) - p(t)
です。