三角関数の連立方程式

リンク機構の計算で連立方程式を立てると下記のような式になりました。
かなり複雑ですが解けるのでしょうか？

L,R,A,B,C,αを既知として、θ,φ,x,y,zを変数とする時、
yをxの関数で表すとどうなりますか？

cosθ=(L^2+R^2-x^2)/(2LR)
cosφ=(A^2+z^2-B^2)/(2Az)
y=sqrt(z^2-C^2)
θ＋φ+α=2π

sqrtはルートを表し、記号　^2　は２乗を表します。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/24 13:15

賛同者が現われたようだ。

手順も同一だし。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/02/24 10:34

>yをxの関数で表すとどうなりますか？

要するに与えられたxに対してzを計算するということが求められており、yをxの関数と表すこととは違います。たとえあらわしたとしても使い物にならない、つまり、プログラムを組むかEXCELで計算する場合に安心して使えない可能性が大きいからです。

よって既知の量を用いて１行づつ計算するというプログラミングの観点で整理すれば計算に使えます。

cosθ=(L^2+R^2-x^2)/(2LR)　　　(1)
cosφ=(A^2+z^2-B^2)/(2Az)　　　(2)
y=sqrt(z^2-C^2)　　　　　　　　(3)
θ＋φ+α=2π　　　　　　　　　　　　(4)

(1)より

cosθ=(L^2+R^2-x^2)/(2LR)　　　　(5)

これはxをあたえることにより確定します。

sinθ=±√1-cos^2θ (6)

これは(5)によって確定したcosθの値を用いて計算できます。
ただし±は計算結果を見ながら場合に応じて決めていく必要があります。

(4)より

cosφ=cos(θ＋α)=cosθcosα-sinθsinα (7)

sinφ=-sin(θ＋α)=-sinθcosα-cosθsinα (8)

これは(5)、(6)を用いて計算できます。

(2)より

z=Acosφ±√(B^2-A^2sin^2φ)　　　(9)

これは(7)(8)を用いて計算できます。

(9)を用いて

y=sqrt(z^2-C^2)　　　　(10)

によりyを計算できます。


(5)～(10)をプログラムすればよろしい。xを適当な刻みで与えてyを計算し、全体の挙動を見ることが大事です。

この回答へのお礼

大変参考になりありがとうございます。
プログラミングしてみます。

お礼日時：2013/02/24 18:23

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/24 02:25

第 1 式は、θ と x の関係式、

第 2 式は、φ と z の関係式、
第 3 式は、y と z の関係式、
第 4 式は、θ と φ の関係式で、
他の変数は現れませんから、
第 3 式へ、第 2 式を変形したものを代入して、z を消去し、
そこへ、第 4 式を変形したものを代入して、φ を消去し、
そこへ、第 1 式を変形したものを代入して、θ を消去すれば…
y が、x の式で書き下せます。

でも、あまり実行してみる気になれませんね。
とても複雑な式になって、扱いづらいだけですから。
一本の式にしてしまうよりも、x から y を求める度に
上記の代入をたどって各変数の値を計算するほうが
よさそうに思います。

この回答へのお礼

遅い時間に早急なる御対応ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2013/02/24 18:21