√のある式の大小関係

3-√6と2-√2
の大小関係を調べたいのですがその場合√6 √2 の値を知らなければわかりませんか？

これまでは2＜√6＜3 のように考えてきてやってこれたのですが上で述べた大小関係は解けません。
やはり素直に覚えていったほうが良いのでしょうか？

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/03 16:31

(3-√6)-(2-√2)=1+√2-√6　　←差をとる

={(1+√2)^2-(√6)^2}/(1+√2+√6) ←分子の有理化をする
=(3+2√2-6)/(1+√2+√6)
=(√8-3)/(1+√2+√6)
=(√8-√9)/(1+√2+√6) ←分子は負、分母は正
＜0

∴ (3-√6)-(2-√2)＜0
移項して
∴ 3-√6＜2-√2

No.1 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/03/03 16:16

３－√６と２－√２の差が正か負かで考えるという作戦があります。

３－√６－（２－√２）＝１－√６＋√２＝１－（√６－√２）
となり１と（√６－√２）の大小関係が分かればよい。
ここで（√６－√２）＾２＝８－４√３
４√３＝√４８だから　３６＜４８＜４９より　６＜√４８＜７
したがって　　－７＜－４√３＜－６　さらに　　　　１＜８－４√３＜２
となる。よって　１＜√（８－４√３）＜√２　つまり　１＜√６－√２＜√２

１－（√６－√２）＝３－√６－（２－√２）＜０

したがって後者のほうが大きい数字である。