平面上にBC=a、CA=b、AB=cである△ABC

Question

がある 
その重心をGとし、GA→=α→、GB→=β→、GC→=γ→とする 
平面上の点PがPA→・PB→+PB→・PC→+PC→・PA→=k(kは定数)をみたしながら動くとき、点Pの軌跡を求めよ 




解き方を教えてください

MagicianKuma · Accepted Answer

重心Gを原点と見なして、PA→,PB→,PC→をGA→ ,GB→ , GC→とGP→で表してみましょう。すなわち
PA→ = GA→ - GP→ = α→ - GP→ 
PB→ = GB→ - GP→ = β→ - GP→ 
PC→ = GC→ - GP→ = γ→ - GP→ 
ですね。これを条件式に入れて整理してみましょう。式の途中で(α→+β→+γ→)が出てきますが、 α→+β→+γ→=0→であることに注意すればすっきりとした式になるはずです。

yyssaa · Answer

＞→PA=→GA-→GP=→α-→GP、→PB=→GB-→GP=→β-→GP、→PC=→GC-→GP=→γ-→GP、
PA→・PB→=(→α-→GP)・(→β-→GP)=→α・→β-→α・→GP-→GP・→β+|→GP|^2
PB→・PC→=(→β-→GP)・(→γ-→GP)=→β・→γ-→β・→GP-→GP・→γ+|→GP|^2
PC→・PA→=(→γ-→GP)・(→α-→GP)=→γ・→α-→γ・→GP-→GP・→α+|→GP|^2
3式の辺々を加えると与条件より、
k=→α・→β+→β・→γ+→γ・→α-2(→α+→β+→γ)・→GP+3|→GP|^2・・・・・(1)
重心の定義より
辺BCの中点をDとすると→α=(2/3)(→DA)=(2/3){-→AB-(1/2)→BC}、
同様に→β=(2/3){-→BC-(1/2)→CA}、→γ=(2/3){-→CA-(1/2)→AB}だから
→α+→β+→γ=(2/3){-→AB-(1/2)→BC}+(2/3){-→BC-(1/2)→CA}+(2/3){-→CA-(1/2)→AB}
={-(2/3)-(2/3)(1/2)}(→AB+→BC+→CA)=0・・・・・(2)
→α・→β=[(2/3){-→AB-(1/2)→BC}]・[(2/3){-→BC-(1/2)→CA}]
=(2/3)^2→AB・→BC+(1/2)(2/3)^2→AB・→CA+(1/2)(2/3)^2|→BC|^2+(2/3)^2(1/2)^2→BC・→CA
→β・→γ=[(2/3){-→BC-(1/2)→CA}]・[(2/3){-→CA-(1/2)→AB}]
=(2/3)^2→BC・→CA+(1/2)(2/3)^2→BC・→AB+(1/2)(2/3)^2|→CA|^2+(2/3)^2(1/2)^2→CA・→AB
同様に→γ・→α
=(2/3)^2→CA・→AB+(1/2)(2/3)^2→CA・→BC+(1/2)(2/3)^2|→AB|^2+(2/3)^2(1/2)^2→AB・→BC
よって(途中余弦定理を使って)→α・→β+→β・→γ+→γ・→α
=(2/3)^2→AB・→BC+(1/2)(2/3)^2→AB・→CA+(1/2)(2/3)^2|→BC|^2+(2/3)^2(1/2)^2→BC・→CA
+(2/3)^2→BC・→CA+(1/2)(2/3)^2→BC・→AB+(1/2)(2/3)^2|→CA|^2+(2/3)^2(1/2)^2→CA・→AB
+(2/3)^2→CA・→AB+(1/2)(2/3)^2→CA・→BC+(1/2)(2/3)^2|→AB|^2+(2/3)^2(1/2)^2→AB・→BC
=(7/9)(→AB・→BC+→CA・→AB+→BC・→CA)+(2/9)(|→BC|^2+|→CA|^2+|→AB|^2)
=(7/9)(accos∠B+bccos∠A+abcos∠C)+(2/9)(a^2+b^2+c^2)
=(7/9){ac(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+bc(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+ab(a^2+b^2-c^2)/(2ab)}+(2/9)(a^2+b^2+c^2)
=(11/18)(a^2+b^2+c^2)・・・・・(3)
(2)(3)を(1)に代入
k=(11/18)(a^2+b^2+c^2)+3|→GP|^2、|→GP|^2=k/3-(11/54)(a^2+b^2+c^2)
よって、点Pの軌跡は、k=(11/18)(a^2+b^2+c^2)のときは重心Gの1点、k＞(11/18)(a^2+b^2+c^2)
のときは重心Gを中心とする半径√{k/3-(11/54)(a^2+b^2+c^2)}の円周、k＜(11/18)(a^2+b^2+c^2)
のときは点Pは存在し得ない。

平面上にBC=a、CA=b、AB=cである△ABC

重心Gを原点と見なして、PA→,PB→,PC→をGA→ ,GB→ , GC→とGP→で表してみましょう。

＞→PA=→GA-→GP=→α-→GP、→PB=→GB-→GP=→β-→GP、→PC=→GC-→GP=→γ-→GP、

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