虚数の使い方

「虚数を応用すると、虚数とは一見関係の無いような問題が、楽に解けるようになる」　という趣の情報を聞いたことがあります。
その例を挙げていただきたいです。　高校数学のなかから　できればI　Ａ　IIの最初の方　の中からお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ast0718 回答日時： 2013/03/11 20:31

えー少し厳しいですね。

数学2の後半部分がないと説明できません。
虚数を使うと簡単になるというのは
理科の物理の電磁気学の交流回路のことだと思います。

できる限り簡単に説明します。

指数関数を説明します。
y=2^xと表現されていれば
x=3のときはy=2*2*2
x=5のときはy=2*2*2*2*2です。
簡単ですね。

指数関数を考えるうえで重要な定数があります。
その名をネイピア数といい、eであらわします。
円周率をπで表すのと同じようなものです。
πは大体3.1ですが、eはだいたい2.7です。
つまりeはだいたい2.7ということを理解してください。

三角関数は数Iの三角比とほとんど同じものです。
sin,cos,tanです。

三角関数と指数関数は高校では全く別のものとして習います。

オイラーの公式というのがあります。
これのすごいところは何か？
三角関数と指数関数が虚数iを使うことで接続できます。
具体的には
e^iA=cos(A)+isin(A)　(間違ってるかも、検索してね)
という感じであらわすことができます。
つまり指数関数と三角関数は実は同じようなものです。

電気回路の交流理論ではよく三角関数がでてきます。
それは波を扱うのに三角関数が便利だからです。
そして交流理論には微分方程式がよくでてきます。

微分は勉強してください。
ちゃんとした意味がありますが、微分するだけならただの計算です。
x^2の微分は2x
x^3の微分は3x^2
e^xの微分はe^x(同じです。)つまり指数関数の微分は凄く簡単です。
sin(x)の微分はcos(x)
cos(x)の微分は-sin(x)

三角関数の微分はまだマシなほうですが
三角関数の微分方程式なんてやってられません。(それでも私は解ける！)

しかし虚数を使ってよいのであれば三角関数を指数関数に置き換えてもよいということになります。
指数関数の微分はこの世でもっとも簡単な微分です。
あまりにも指数関数の微分が簡単なので
厄介な微分方程式があなたにでも解ける(代数)方程式に変換できます。
2次方程式になったりします。楽ですね。

楽すぎて虚数の電流みたいなのが本当にあるように錯覚してしまいます。
しかし虚数の電流はありません。
あくまでこれは楽に解くための方法です。

補足
なぜ三角関数と指数関数が似た者同士なのか？
それは先ほどの微分をよく考えるといいヒントになります。

sin(x)の微分はcos(x)になります
cos(x)の微分は-sin(x)
-sin(x)の微分は-cos(x)
-cos(x)の微分はsin(x)
三角関数は4回微分すると元に戻りました。

一方指数関数はe^xを微分するとe^xですが
e^2xを微分すると2*e^2xです。　
もう一度微分すると2*2*e^2x
もう一度微分すると2*2*2*e^2x
もう一度微分すると2*2*2*2*e^2x

さて私は何がいいたいのでしょうか？
e^2xの代わりにe^ixを微分すると明らかになります。
e^ixを微分するとi*e^ix
これを微分するとi*i*e^ix
i*i*i*e^ix
i*i*i*i*e^ix
i*i=-1ならば、i*i*i*i=1です。
つまりe^ixは4回微分すると元に戻ります。
つまり三角関数とe^ixは非常に似た性質を持っていることがわかります。
というかほとんど同じです。

No.3 回答者： 2013-69 回答日時： 2013/03/11 20:16

このあたりのことでしょうか

参考URL:


https://www.youtube.com/watch?v=DjD7fubTa1Y

No.2 回答者： f272 回答日時： 2013/03/11 20:12

I　Ａ　IIの最初の方と言われても，もともと楽に解けるような問題ばかりだろうから，虚数を応用しなくても楽に解けます。

無理やり虚数を使おうとすると逆に難しくなりそうです。

No.1 回答者： noname#175807 回答日時： 2013/03/11 20:05

三次方程式の解の公式(カルダノの公式)に虚数が使われてます

例えば三次方程式x^3 - x = 0 となるxを探すとき、虚数が含まれてるカルダノの公式を使うとちゃんと解が求まります
普通x^3 - x = 0は因数分解を使って解くので、虚数とは一見関係の無いような問題の例になってると思います