面積分の求め方

以下の問題を面積分で，どのようにして解けばいいのか，わかりません．教えてください．
"曲線x=(cosθ)^3，y=(sinθ)^3 (0≦θ≦2π)で囲まれる図形の面積を求めよ．"

高校の知識では解けました．また，グリーンの定理を用いて，間接的に求めることもできました．
これはベクトル解析の本に載っている問題です．解答しかついていないので，困っています．

No.3 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2013/03/17 20:53

#1です。

＞意図

はい、そうです。

この回答へのお礼

ありがとうございました．おかげで解くことができました．

お礼日時：2013/03/17 21:33

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/17 11:17

面積を求める閉曲線は星芒形（アステロイド）といって良く知られたグラフです。

参考URLに曲線のグラフやxy座標表現や曲線で囲まれた面積や曲線の長さ等の求め方が載っていますので参考にしてください。ただし、参考URLではx,yが３倍になっているので面積が相似比の２乗に比例するので質問のアステロイド曲線の面積は1/9倍になりますので注意ください。

過去のログ
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/169279.html
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

他の参考URL
http://www.riruraru.com/cfv21/math/asteroid.htm

参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/ast …

この回答へのお礼

ありがとうございます．ただ，この解答が高校の解法にあたります．上手く説明できなくてすいません．

この曲線を星芒形（アステロイド）と呼ぶと知りませんでした．知っていればうまく調べることができたと思いました．このような名前を覚えることを軽視していた気がします．

お礼日時：2013/03/17 16:50

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/03/17 07:54

解けたのになぜ困っているのですか？

その図形をDとしてDは星形領域になるので
(∬_D)dxdyについて、
x=r(cosθ)^3,y=r(sinθ)^3
0≦r≦1,0≦θ≦2π
による変数変換をしたくなりませんか？

この回答へのお礼

困っていた理由は，問題集の題意に反するからです．レポートとかの課題ではありませんので，答えが合えばいいはできませんでした．

それから，berokandaさんの意図は
∫[0,2π]∫[0,1]3r (sinθ)^2(cosθ)^2 drdθ
でよろしいですか？
確かにこれで解けましたが，berokandaさんの意図とあっていたかが気になります．

お礼日時：2013/03/17 17:01