No.6ベストアンサー
- 回答日時:
興味深い疑問ですね。
よく,10÷3=0.333…
だから3倍しても
0.333…×3=0.999…
で正確な1にならないのではないか,という疑問がありますが,その無理数バージョンみたいですね。
平方根の定義から √xの2乗 = x とすればおしまいですが,それで疑問が解消できないからこその質問でしょうから,中学校の数学の範囲で
√2x√2=2, 厳密に過不足なく2であることを示してみたいと思います。
まず,1辺の長さが1の正方形を考えます。これに1本の対角線を引きます。この対角線の長さは三平方の定理から√2ですね。これは小数で書かずこのままにしておきます。
次にその対角線を1辺とする正方形を描きます。この中には,最初に描いた正方形の半分の三角形が4個入りますね。ですから面積は正確に2,よって√2を1辺とする正方形の面積は2となり
√2x√2=2
であることが示されました。お絵かきうまくいってるかな?
√2の値は数直線上のある1点ですが有限の小数で表せません。小数の表現方法に,実数を完全に正確には表せないことがあるという制約があるのです。実数を表す方法は小数だけではありません。小数よりもっと正確さを得やすく便利な表現方法は,これからだんだん習っていくと思いますが √ はその入り口です。
No.5
- 回答日時:
すごく単純に説明します。
√2は√2と表記する以外に正確に表すことのできない数です。
つまり小数点以下どれだけ増やしても絶対に√2とは同じ数にはならないわけです。
√2と違う数を2乗したって√2の2乗と同じ結果にならないのは納得できませんか?
例えば2と2.01は近い数字だから2乗したら等しくなるっていうのはおかしいでしょう?
最後に√2×√2=2にどうしてなるのかというと、そもそも2乗して2になる数を√2と定義したからです。こういう計算結果になる数を√2としようと決めるという決まりごとを先にしているので、間違いなく2になります。
No.4
- 回答日時:
√2は、1.41421356・・・以下無限につづく数である、と定義されています。
ですから、有限個の桁数で計算しても2にはなりません。
>おそらくもっと小数点を増やしても完全に答えが2になるのか疑問が残ります
そう、1万桁、1億桁、1兆桁にしても2にはなりません。
こういう数のことを無理数といいますが、不思議なことに無理数であっても、
数直線上の、ある1点なのです。幾何的には二等辺直角三角形の長い辺の長さ※です。
※無理数wikiを見てください。
おまけ
√2は、別の書き方をすると、2^(1/2) つまり、2の(1/2)乗です。
よって、指数計算の公式により、
√2×√2= 2^(1/2)×2^(1/2) = 2^((1/2)+(1/2)) = 2^1 = 2
となります。
No.3
- 回答日時:
> ということは
> √2×√2
> の回答は2ではなく2に近い数字ということになりませんか?
話が逆です。
√2 ≒ 1.4142,
√2 ≒ 1.41421,
√2 ≒ 1.414213,
√2 ≒ 1.4142135,
…
と桁数を増やしていっても、有限小数で近似する限りは
あくまで ≒ であって、√2 と = にはならないから、
小数近似の二乗を計算しても (√2)^2 と = にはならない
ということです。
(無理数は、有限小数では書ききれないということ。)
√2 の二乗は 2 であり、
√2 に近い数字の二乗は 2 に近い数字になる
と言えばいいかな?
No.2
- 回答日時:
√2は、2回掛け合わせたら2になるという数のことです。
この数は、いくら小数点を増やしても、求まりません。1/3も、小数で表せば、0.33333…ですが、これに3をかけても、小数で考えれば、1にはなりませんね?これと同じことです。
分数の場合は、同じ並びの数が繰り返されて出てくるため、何番目の数は何なのか予想がつきますが、√2などは予想がつきません。前者を有理数、後者を無理数といいます。
もっとも―以下は、中学生は話半分に聞いといて―
別の考え方では、√2は数そのものをあらわすのではなく、2の平方根を求める手順そのものをあらわすのだ、というものもあります。そこでは、1.4*1.4、1.41*1.41、1.414*1.414…となり、答えは永遠に2にはならない。君の今の考えに近い。約1.41とすべきだけどね。そもそも、数でないものを掛け合わすことなど、できっこないのだ、ともいえます。
√2を数とみなすものを実無限、手順とみなすものを可能無限といいます。
詳しくは、以下「無限論の教室」を参照。高校受験が終わったら、読んでみてください。大学レベルだけど。
http://www.amazon.co.jp/%E7%84%A1%E9%99%90%E8%AB …
No.1
- 回答日時:
>√2 x√2 は(√2 )^2と同じで答えは2であっていますか?
あってますよ
√2というものは、2回掛けると2になるなにものかですから
>√2=1.4142 なので
これが間違い
1.414 < √2 < 1.415 ー> 1.999396 < (√2 )^2 < 2.002225
1.4142 < √2 < 1.4143 ー> 1.99996164 < (√2 )^2 < 2.0002449
の様に桁数をどんどん増やせば、限りなく2に近づきます
ただし、桁数をどれだけ増やしても2に一致する事は有りません
√2 を 小数点以下15360桁まで計算した例はこちらに、
http://www.usamimi.info/~geko/arch_pro/0x003_cal …
√2 を 計算する方法はこちらに
http://www.hamadajuku.com/column/math/sqrt.aspx
http://homepage3.nifty.com/funahashi/suugaku/suu …
この回答への補足
>ただし、桁数をどれだけ増やしても2に一致する事は有りません
ということは
√2x√2
の回答はは2ではなく2に近い数字ということになりませんか??
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