直行行列

直行行列の条件は
「正方行列を構成するn個の列（行）ベクトルが互いに直交し、各ベクトルのノルムは1。」
というのがあります。

列（行）ベクトルが互いに直交するというのはどういうことですか？行と列が直交するのはイメージがつくんだけど、列（行）同士は平行するという関係ではないですか？

また、各ベクトルのノルムが1というのはどんな意味ですか？ノルムを調べたけど、絶対値みたいなもんで、ここではどう理解すればよろしいですか？

このレベルの線形代数の知識がほとんどなくて、ネットで調べたり、本も買ったんだけど、線形空間という本の一番後ろに書いてあります。そこまでの知識を今猛勉強中です。

直交行列のところだけは今必要ですので、誰かわかる方はわかりやすく教えていただけますか？よろしければ直交行列の例を示していただけますか？今まったくどんなものかイメージがつかないです。

よろしくお願いいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/28 15:59

←A No.2 補足

内積について、↑OA・↑OB = ｜OA｜｜OB｜cos∠AOB
は、知っているようですね？ ならば、
v・v = ｜v｜｜v｜(cos 0) も、理解できるでしょう。
v のノルム(長さ)は、｜v｜ = √(v・v) です。
√(v・v) = 1 と v・v = 1 は、同値な式です。

これと、u, v が直交すること u・v = 0 を併せると、
「ノルムが１で、互いに直交する」という条件が、
全て内積を使って表現できます。

同じ列どうしの内積は１、異なる列の内積は０ということです。
後は、(A転置)A の第i行j列成分が
(A転置) の第i行と A の第j列の内積、すなわち
A の第i列と第j列の内積であることを思い出せば、
(A転置)A = E の意味が理解できます。

この回答へのお礼

親切なご説明ありがとうございます。とてもわかりやすく教えていただいて、よく理解できました。今読んでいる本の一ページ目にいきなり直交行列のことが出てきて、とても困っていました。今は大分それのことが理解できて、ようやく2ページ目に進められるようになりました。本当に感謝します。とても助かりました。

お礼日時：2013/03/31 23:33

No.4 回答者： overthrow_NEETs 回答日時： 2013/03/28 02:00

正規直交基底

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F% …

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/senkei/ …

直交行列やっているくらいだから、いくらなんでもグラムシュミットの正規直交化法は習ってるだろ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/03/31 23:31

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/27 15:55

あ、失礼。

「両辺を転置」じゃ、駄目だ。
転置しても、同じ (A転置)A=E にしかならない。

(A転置) が A の逆行列になるから、
A とは可換で A(A転置)=(A転置)A=E.
ここから、行の直交性 (A転置の転置)(A転置)=E
が出る。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/27 13:50

行と列が「直交」って…　成分を並べて書く方向の話ですか？

そうではないでしょう。

行列の行や列は、ベクトルと見なすことができます。
ベクトルの「直交」は、ベクトルを有向線分と見たときの
線分の直交という意味です。
計算上は、内積が 0 になることで表されます。

ベクトルの「ノルム」は、要するに「長さ」のことです。
これも内積を使って表すと、ベクトル v のノルムが 1
であることは v・v = 1 と書けます。

上記を併せると、行列 A の列ベクトルが互いに直交して、
それぞれノルムが１であることは、(A^t)A = E　　←(*)
(^t は転置、E は単位行列を表す) と書けます。

(*) の両辺を転置すると、(A^t^t)(A^t) = E となります。
A の列ベクトルが正規直交であることと、A^t の列ベクトル
…すなわち A の行ベクトルが正規直交であることは
同値だという訳です。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

直交すると、内積が0になるのがわかりました。
A・B=ABcosθ。直交すると、cos90°=0。A・B=0。

ベクトルの長さはなぜv・vになるのですか？この長さはsqrt(v^2)で表す絶対値の長さと何が違いますか？

「行列 A の列ベクトルが互いに直交して、
それぞれノルムが１であることは、(A^t)A = E」よくわかりません。
転置行列（行と列が入れ替えた行列）と単位行列（対角線が1でそれ以外が0の行列）はわかりますが、なぜ上のようになるかはわかりません。

正規直交とはどんなことでしょうか。

いろいろわからなくて、申し訳ございません。もうちょっと教えていただけますでしょうか？

よろしくお願いいたします。

補足日時：2013/03/28 00:01

No.1 回答者： overthrow_NEETs 回答日時： 2013/03/27 01:04

直交だよね？

内積が０なら、ベクトル的には直角(直交)。
n個のベクトルが正方行列を成してノルムが1。
ってことは、正規直交基底をなすn個のベクトルを並べて作った行列ってことだよ。

この回答への補足

はい、直交行列です。
ありがとうございます。
正規直交基底とはどんなものですか？

補足日時：2013/03/27 23:44