偏微分方程式 ∂u/∂x = u^2

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

∂u/∂x = u^2

模範解答
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形して

　　　　　- 1/u = x + φ(y)

を得る。これより

　　　　　u = -1 / { x + φ(y) }
　　　　　（φ(y)はyの任意の関数）
　
・・・と本には書かれていますが、
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形してから

　　　　　-1/u = x + φ(y)

を得るまでの過程を正式にどう書くのかが分かりません。
自分なりにやってみますと：

　　　　　1/(u^2) (∂u/∂x) = 1

両辺をxで偏積分(?)する

　　　　　∫{ 1/(u^2) (∂u/∂x) } ∂x = ∫1∂x
　　　　　∫{ 1/(u^2) } ∂u = x + φ(y)
　　　　　∫{ u^(-2) } ∂u = x + φ(y)
　　　　　(1/-1) u^(-1) + C = x + φ(y)
　　　　　-u^(-1) + C = x + φ(y)
　　　　　-1/u + C = x + φ(y)
　　　　　-1/u = x + φ(y) - C

積分定数Cをφ(y) で吸収・合併（!?）

　　　　　-1/u = x + φ(y)

・・・となりました。まず、考え方はこれで合ってますでしょうか？
そして、正式にはどう書くのでしょうか？
教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2013/05/26 13:49

∂u/∂x = u^2

u^(-2)∂u/∂x=1 (1)

をみて

∂u^n/∂x =nu^(n-1)∂u/∂x　　(2)

を連想します。

uの次数が合うためには

n=-1

∂u^(-1)/∂x=-u^(-2)∂u/∂x=-1

すなわち

∂u^(-1)/∂x=-1

これより

u^(-1)=-x+p(y)

u=-1/(x-p(y)) （ -p(y)=φ(y)とすればよい。）

質問者のやり方ももちろんあっています。


＞ xで偏積分(?)する

通常

「xで積分する」と言っています。

この回答へのお礼

なるほど、理解できました。
自分にとっては訓練不足のせいか連想のところが難しいようです。もっと基礎を勉強しなくては。
偏微分とは言っても偏積分とは言わないんですね。(笑)
覚えておきます。
ありがとうございました！

お礼日時：2013/05/26 15:51