リーグ戦の勝敗（確率）

a,b,c,d,e,fの6チームがあり、それぞれのチームは他のチームと1試合ずつ試合をする。
どの試合も両チームの勝つ確率は1/2であるとし、引き分けは考えない。

この時、5勝無敗のチームが現れる確率を求めたいのですが、よく分からないことがあります。

確率を求める式は　6C1×(1/2)^5　となるそうなのですが、なぜこうなるのでしょう？

まず、(1/2)^5=1/32となるので、この問題における勝敗数は32通りあるってことですよね。

この32通りを細かく考えていくと、

あるチーム（Xとします）が5勝する場合の数→1通り
4勝する場合の数→5通り（X以外の5チームからXに勝つチームの選び方は5C1。以下同様に考える）
3勝する場合の数→10通り
2勝する場合の数→10通り
1勝する場合の数→5通り
全敗する場合の数→1通り

これらを全て足すと32通りになります。

質問に戻ります。

つまり　6C1×(1/2)^5=6/32　なので、この32通りの中に5勝無敗のチームが現れる場合の数が6通りあるということになるのですが、上で数えた0勝～5勝のパターンの中に6通りも5勝無敗のチームが現れるパターンがあるということが実感できません。
（1番最初の1通りしかわかりません・・・）

こう考えるといいよという考え方がありましたらぜひ教えてください。

分かりにくい文章でごめんなさい。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/07/01 13:17

こういう考えはどうですかね。

6チームがリーグ戦をすると、試合数は全部で15試合になりますよね。
そのそれぞれについてどちらのチームが勝つかは２通り考えられますから、15試合の結果として考えられるのは２の15乗ですよね。
その中でAチームが全勝したとします。Aチームがおこなった5試合はAチームが勝ちで決まりですから、残りの10試合の結果として考えられるのは２の10乗ですよね。
B、C、D、E、Fも同様に２の10乗ですから、全勝チームが出る勝敗結果として考えられるのはこれらの和、つまり２の10乗の6倍です。
これを先ほどの２の１５乗で割れば確率は出ますよね。２の１０乗の６倍÷２の１５乗は６/２の５乗で６/３２になりませんか。

数学はできないのでほとんど中学１年レベルの解き方ですが、だめでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

Aチームがまず5試合して、考えられる2^5通りのうちの1通り（全勝）に、残りの10試合の結果として考えられる2^10通りをかける。
これが6通りあるので6×(2^10)/(2^15)=6×(1/2^5)…ってことですね。

これを見てやっと自分の考え方のずれに気がつきました。
参考になりました。

お礼日時：2013/07/01 16:46

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2013/07/01 02:19

＞まず、(1/2)^5=1/32となるので、この問題における勝敗数は32通りあるってことですよね。

違います。

この1/32は全勝する確率であって、勝敗数とは関係ありません。たまたま同じ32という数が現れただけです。

あるチームの勝敗数が32通りあるのはその通りですが、その32通りの中に他のチームの全勝のパターンが含まれているわけではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

(2^10)/(2^15)=(1/2^5)ってことですね。

どうやら私には32という分母しか見えていなかったようです・・・。

参考になりました。

お礼日時：2013/07/01 16:38

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/30 20:45

＞あるチーム（Xとします）が5勝する場合の数→1通り

Xは、
aであってもいいし
bであってもいいし
cであってもいいし
dであってもいいし
eであってもいいし
fであってもいい

よって、6倍する必要があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

考え方はおっしゃる通りらしいのですが、X以外のチームが全勝するという場合（Xが全勝する1通りを除いた5通り）が起こり得る32通りの場合とどう結びついているのかが分からず納得できずにいます。

何か基本的な考え方を忘れている気もするのですが、それすらもよく分からない状態です。

お礼日時：2013/06/30 22:55