(1-1/2)+(1/3-1/4)+…

(1-1/2)+(1/3-1/4)+…(1/(2n+1)-1/(2n+2))
=1+1/2+1/3+…+1/(2n+2)-2(1/2+1/4+…+1/(2n+2))

となるのはなぜなのか教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/07 20:47

(1-1/2)+(1/3-1/4)+…(1/(2n+1)-1/(2n+2))

=(1+1/2)-2(1/2)+(1/3+1/4)-2(1/4)+…
+(1/(2n+1)+1/(2n+2))-2(1/(2n+2))
引き算項を後ろに移動して2を括弧のまえに括ると
=(1+1/2)+(1/3+1/4)+…+(1/(2n+1)+1/(2n+2))
　-2(1/2+1/4+…+1/(2n+2))
前半分の項の括弧をはずすと
=1+1/2+1/3+…+1/(2n+2)-2(1/2+1/4+…+1/(2n+2))

となりませんか？

お分かり？

この回答へのお礼

詳しくありがとうございました
わかりました

お礼日時：2013/07/08 18:19

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/09 14:43

Σ[k=0…n] 1/(2k+1) は、

Σ[m=1…2n+2] 1/m の分子が奇数の項を集めたものですな。

すると、
Σ[m=1…2n+2] 1/m = Σ[k=0…n] 1/(2k+1) + Σ[k=0…n] 1/(2k+2)　　←[*]
を変形して
Σ[k=0…n] 1/(2k+1) = Σ[m=1…2n+2] 1/m - Σ[k=0…n] 1/(2k+2).

A No.2 の続きが、
= Σ[k=0…n] 1/(2k+1) - Σ[k=0…n] 1/(2k+2)
= { Σ[m=1…2n+2] 1/m - Σ[k=0…n] 1/(2k+2) } - Σ[k=0…n] 1/(2k+2)
= Σ[m=1…2n+2] 1/m - 2 Σ[k=0…n] 1/(2k+2)
となります。

先の２行目から３行目への変形でも、
今回の [*] でも、
足し算で項の順番を変更しても和が変わらないこと
A + B = B + A を使って、式変形をしているのです。

この回答へのお礼

ようやくわかりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/07/10 20:57

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/08 14:06

これは、Σ を使って書いたほうが見やすいかな？

Σ[k=0…n] {1/(2k+1) - 1/(2k+2)}
= Σ[k=0…n] {1/(2k+1) + (-1)/(2k+2)}
= Σ[k=0…n] 1/(2k+1) + Σ[k=0…n] (-1)/(2k+2)
= Σ[k=0…n] 1/(2k+1) + (-1) Σ[k=0…n] 1/(2k+2)
= Σ[k=0…n] 1/(2k+1) - Σ[k=0…n] 1/(2k+2)
ということですね。

２行目から３行目への変形で、
足し算の可換性 A + B = B + A を、

３行目から４行目への変形で、
分配法則 cA + cB = c(A + B) を
使っています。

この回答への補足

すみません、今更ですが
Σ[k=0…n] 1/(2k+1) - Σ[k=0…n] 1/(2k+2)
とは結局
1+1/3+…+1/(2n+1)-(1/2+1/4+…+1/(2n+2k))
で
1+1/2+1/3+…+1/(2n+2)-2(1/2+1/4+…+1/(2n+2))
とはなりませんよね？

補足日時：2013/07/08 19:35

この回答へのお礼

詳しくありがとうございました
ただ足し算の順序を入れ替えられることはさすがに私も分かるのですが…何か入れる理由はあったのですか？

お礼日時：2013/07/08 18:22