マクスウェル方程式と特殊相対論

Question

マクスウェル方程式が生まれたのは特殊相対論よりかなり前の時代です。
しかしマクスウェルの方程式は相対論が出たあとでも修正の必要がありませんでした。
マクスウェル方程式が生まれた過程のどこで相対論の内容が組み込まれたのでしょうか？　
解説書を読んでもよく分かりません。詳細な説明は要りませんが、「相対論と等価の内容が
この箇所で組み込まれた」 という、その箇所が何かをお教えください。

ddtddtddt · Accepted Answer

#5です。

＞ということは、そもそも上記の法則自体が観測者によらず常に同じ式で表されるもの、ということなのでしょうか。
＞・・・仮に観測者が実験装置に対して運動していても全く同じ実験結果が得られたであろう・・・

相対性原理を認めてしまえば、当然そうだとなります。なりますが、特殊相対性理論以前では逆に、法則の形が観測者によって違うのは当然だ、と考えられていました。

もっとも真の物理法則は一つで、違った形は「見せかけだ」という但し書きは付きました。物理現象は、観測者の運動状態がどうあろうと同じですから、そうでなければ困ります・・・(^^；)。その一つが、cか？c－vか？です。

マックスウェル方程式から光速度はcと言いますが、だいたい何に対してcなのか？、は原理上の大問題です。そこで想定されたのが、音波のような波のアナロジーです。光が電磁波だとわかったからです。

音速は大気に対して一定で、音源や観測者の運動とは無関係です。同様に光は、空間に対してcで進む、もう少し現実的に言うと、宇宙全体の重心に対して常にcの速度を持つ。紆余曲折はありましたが最後には、これは宇宙の基準座標、絶対静止座標を想定するのと同じだと気づかれます。そして、それとともにある観測者においてのみ、光速度をcとするマックスウエｌル方程式は正しく成り立ち、それ以外の座標系での結果は全て「見せかけ」である、が当時の考えでした。

なので運動物体上で（地球上で）光速は、c－vでなければならなかった訳です。そうならなかったので、みんなびっくりしました。

とはいえマイケルソン・モーリーの実験のように原理に直結するような話でもなければ大概は、相対論があろうとなかろうと、観測者が運動しようとしまいと、全く同じ実験結果が得られるのが普通です。そうでなければ、相対論を考慮しない古典電磁気学が、実用的に役立つ訳がありません。今でも工業的には、古典電磁気学で十分です。

逆に言うと相対論になったって、それ以前と同じように観測者によって見え方の違う現象は、山ほどあるという事です。現実の物理現象が、理論によって変わる訳ないですから。ここで参考になるのは、#1さんのローレンツ力です。

磁石を止めて回路を動かすと、回路の電子にローレンツ力が働き、電磁誘導が起きます。この観測者は、止まった磁石とともにあります。しかし同じ現象を、動く回路とともにある観測者からも見れます。電磁誘導が起き、回路に電流が流れるという現象はいっしょですが、今度はローレンツ力の原因である電子の運動はありません。回路とともにある観測者にとって、回路電子は静止してるからです。では、訳もなく回路に電場が発生したのか？。

それは屁理屈だろうが、普通の感覚だと思います。電磁誘導の原因が磁石なのは明らかです。何もない所で回路を動かしても、電磁誘導は起きないからです。しかし磁石は帯電していません。電荷がないのに電場が発生した事になります。

つまり回路とともにある観測者の見た電場は、「見せかけだった」という結論になります。じっさい回路を止めて磁石を動かしても同じ現象が起き、そのとき磁石にしてみれば回路が動くのと同じだ。要するにこれは、電磁誘導が相対運動にしか依存しないという、当然の結果に過ぎないと。

特殊相対性理論では、別の解釈をします。電場と磁場は、（普通の物質ではないが）電磁場という独立した物理的実在の、電気的性質と磁気的性質を表すだけで、電磁場が電気的に見えるか磁気的に見えるかは、観測者によると考えます。

よって回路が動いた場合の回路とともにある観測者の見た電場は、本物になります（電荷がないのに！）。この結論がにわかには信じられないのは、電場の存在を知るのは電場によって動かされた電子を測定するしかなく、それは結局電流を測る事だからなんでよね、きっと(^^；)。そして相対論的立場では、電磁誘導が相対運動にしか依存しないのは、言うまでもなく当然になります。

静電場や静磁場に関しては、大概同じ実験結果に対する物理的解釈を変えるだけで、上記のように処理できます（だから、なかなか気づかれなかった）。かつ実用上は、ほぼこの範囲です（準静的過程と言われます）。

しかし本当に運動する電磁場（電磁波）については、電磁場方程式に素直にガリレイ変換を適用すると、色々と不都合が生じます。またその不都合を確認するには、マイケルソン・モーリーなみの精密実験が必要な事もわかります（だから、なかなか気づかれなかった）。

初めて電磁場方程式に素直にガリレイ変換を適用した人は、ヘルツです。ヘルツは、電磁波の存在を初めて実験的に検証した人でもあります。なので、電磁場方程式のガリレイ変換に対する変換性が、気になってしょうがなかったんだと思います。

そして適用して、ありていに言えば失敗しました。不都合が出た、という事です。最初だから仕方ない。やってみなけりゃわからない・・・(^^；)。でも失敗しただけにヘルツの仕事は、電磁気学と特殊相対性理論の関係についての、貴重な資産でもあります。

ddtddtddt · Answer

#6です。

お礼に頂いた(1)は、その通りだと自分も思っています。

＞(2)基準座標に対して速度vで動く座標の上に実験装置を置き、
＞それを基準座標上の観測者が見たときは
＞マクスウェル方程式は少し違った形になるはずで、
＞それを解いて得られる光速度は基準座標に対してc+v（あるいは c-v）になるであろう；

上記2行目の「基準座標上の観測者」は、「速度ｖの実験装置とともにあるｊ観測者」の誤植かな？とも一瞬思いましたが、基準座標に対して速度vで動く実験装置の測定結果を、何らかの手段で基準座標上の観測者が受け取る、という意味ですよね？きっと・・・(^^)。

それなら、(2)の通りだと思います。

ddtddtddt · Answer

自分は#2さんとほぼ同意見なんですが、ちょっと歴史を述べてみます。

まず特殊相対性理論と言ったとき、相対論的力学まで含めるかどうかはけっこう微妙です。なのでここでは、相対論的力学を除外したものを純粋な特殊相対性理論と言います。電磁気学にも似たような事情があり、電磁場と電子などの相互作用も考えるかどうか、という問題があります。電子などはふつうの物質ですから、相互作用まで考慮した電磁気学は、じつは純粋な電磁気学とニュートン力学との2本立てになっています。純粋な電磁気学とニュートン力学をつなぐのがローレンツ力であり、純粋な電磁気学とはマクスウェル方程式そのものと思ってOKです。

純粋な特殊相対性理論は時空間の理論です。時間，空間の正体は今もってわかっていませんが、内容を見るとそう呼ばざる得ないので、時空間の理論と言われます。最も常識的で史上最も普及した時空間の理論は、ガリレイ変換です。運動を一方向に単純化して考えると、次のようになるのはご存知と思います。

t’＝t　　　　　　　　(1)
　　x’＝x－vt’

(x，t)は任意の観測者_0が測定する空間の位置xと時間tで、(x’，t’)は、観測者_0に対してx方向に速度vで等速運動する観測者_1が、同じ位置と時間を測定した場合の結果です。t’＝tなので、x’＝x－vtになり、全ての物理的実在の運動には、相対速度vが付与されるという、当然の結果になります。

純粋な特殊相対性理論は(1)に相当する範囲しか扱いません。そこでは(1)は、ローレンツ変換に変更されます。

ここで重要なのはアインシュタインは、基本的に19世紀の人間だという事です。19世紀はニュートン力学に史上最も絶大な信頼が寄せられていた時代であり、19世紀の最大の物理成果で最新理論だったのは、電磁気学でした。アインシュタインはニュートン力学も電磁気学も、同じくらいに信じていました。

ここでニュートン力学の運動方程式は、

Ｆ＝ma　　　　　　(2)

です。Fは物体に作用する力，mは質量，aはその加速度です。観測者_0に対して(2)が成立するなら、観測者_1でも、相対速度vで力Ｆや質量mが変わる訳ありません。問題は加速度aですが、相対速度vは等速なので、観測者_1でaがa＋a’みたいに変化はしません。よって観測者_0に対して等速運動する全ての観測者で、(2)と同じ運動方程式が（同じ物理法則が）成立します。本質的にこの事実に最初に気づいたのはガリレイなので、これをガリレイの相対性原理と呼びます。

一方純粋な電磁気学はマクスウェル方程式ですが、それは電場Ｅと磁場Ｈの運動を記述し、電磁場（光）の速度cを決めます。という事は、マクスウェル方程式は光速度cを物理定数として最初から含んでいるのと同等です。マクスウェル方程式を、

f(c．Ｅ，Ｈ)＝0　　　　　(3)

と書きます。(2)だってＦーma＝0と書けますよね？。(3)のcが(2)のmのようだったら、話は面倒にはなりませんでした(^^；)。

ところがcは速度です。観測者_0で(3)が成り立っても、ガリレイ変換に従えば観測者_1では、

f(c－v．Ｅ，Ｈ)＝0　　　(4)

でなければなりません。ガリレイ変換が完璧に信頼されていた当時（19世紀）、「これで良いのだ」と誰もが思いました。力学と電磁気学では、その物理機構の起源がそもそも違うのだから、こうなっても当然だと。そして(4)に従えば、運動物体上では光速度の変化を観測できるはずです。それが有名なマイケルソン・モーリーの実験で、もう何度も追試されていますが、結果は否定的です。光速度の変化は観測できませんでした。

そこで始まったのが、ガリレイ変換(1)をどう変更したら、観測者_0でも観測者_1でも(3)が成り立つようにできるのか？という研究です。その結果出て来たのが、ローレンツ変換でした。ただしローレンツはローレンツ変換の物理的意味を、ついに見い出せませんでした。従ってガリレイ変換への信頼もその時点では、そんなに揺らいだ訳ではありません。

ローレンツの作業は、あくまで実験事実を説明するためのもので、(1)を適当に変更してその結果を(3)に代入し、vによる相対速度効果を上手く打ち消すように、変更の詳細を決めていく、といったものです。

アインシュタインはローレンツの仕事をほとんど知らなかったようです。しかしアインシュタインは「これで良いのだ」と思わず、物理法則の普遍性を信じます。ニュートン力学によって保証されていたガリレイの相対性原理は、電磁気学にも適用可能なものだと考えます。彼はニュートン力学も電磁気学も、同じくらいに信じていたからです。

観測者_0と観測者_1で「任意の物理法則が同じ形で成立する」事を、相対性原理と言います。相対性原理に従えば、観測者_1でも(3)となり、光速度不変の原理が導かれます。

アインシュタインは相対性原理と光速度不変の原理のみから、ガリレイ変換を再検討します。この結果、ニュートン力学よりも電磁気学を優先した事になりますが、どちらかと言うと、電磁気学にはガリレイ変換の足枷がかかるが、ニュートン力学はそこから自由なので、まず電磁気学で試したみた、というのが論理的な筋でしょう。彼はニュートン力学も電磁気学も、同じくらいに信じていたからです。そして現れたは、ローレンツ変換でした。

アインシュタインは、ローレンツ（そして当時の物理学者の大勢）とは全然別の考えとアプローチで、ローレンツ変換を再発見した事になります。マイケルソン・モーリー問題でローレンツと共同研究者のような立場にあった数学者ポアンカレは、アインシュタインの仕事もすぐに理解します。そして次の事を示します。

観測者_0から観測者_1へのガリレイ変換のような役割をする変換を、Ａ変換と表します。

1)拡張されたガリレイの相対性原理（相対性原理）が成り立つ事．
　　2)相対速度によらない普遍速度が存在する事．
　　3)観測者_0から観測者_0への変換（恒等変換）は、Ａ変換である事．
　　4)観測者_1から観測者_0への変換も、Ａ変換である事．
　　5)観測者_0から観測者_1，観測者_1から観測者_2への2回のＡ変換は、観測者_0から観測者_2への1回のＡ変換に等しい事．

以上の一般的条件を満たし、2)の普遍速度をcとすれば、Ａ変換はローレンツ変換になります。ここからローレンツ変換は、実験事実を説明するためだけの数学的ツールではなく、時空間の思いがけない性質の反映だと、解釈されるようになって行きます。ちなみに相対性原理をニュートン力学に限定し、2)を除外すればガリレイ変換です。

ここまで来れば明らかと思いますが、ローレンツ変換が出た時点では、電磁気学の変更は何もありません。一方、運動方程式などを使わなくてもローレンツ変換だけから、到達できる最大速度はcだとわかります。ニュートン力学に最大速度はありません。いくらでも加速できます。ニュートン力学は特殊相対性理論（ローレンツ変換）を満たすように、拡張する必要がありました。その結果が、相対論的力学です。

Classified · Answer

>　マクスウェル方程式がただ一つの電磁波速度しか与えない、

私の理解では、マクスウェルの方程式を解くと電磁波の速度が v=1 / √(εμ)　となる。つまり、方向に依存するような項目がないから、どちらの方向に対しても一つの速度 v で進む。
ここで、εは、真空の誘電率、μは真空の透磁率。

ところが、ガリレイ変換だとある慣性系で、電磁波がどちらにもvの速度で進むとすると、相対速度Vで移動する慣性系からは、進行方向にはv-V, 逆方向にはv+Vの速度ですすむことになるから、上記の v=1/√(εμ) を満たしていない。

tknakamuri · Answer

レンツの法則

Classified · Answer

逆でしょう。

ガリレイ変換だと、マクスウェルの方程式が特定の座標系(いわばエーテルに対して静止している座標系)しかうまくいかずに物理学者が悩んでいたとこへ、　「すべての慣性系でマクスウェルの方程式が成り立つ」ように理論を組み立てたのが特殊相対性理論でしょう。

(マクスウェルの方程式から、光速(電磁波の速度)がただ一つ決まるのですから、　光速一定と同義かと思いますが。)

tohoho2 · Answer

ローレンツ力を考えることだな。以下を参照。

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%C1%EA%C2%D0%CF%C02010%C7%AF%C5%D9%C2%E813%B2%F3

マクスウェル方程式と特殊相対論

#5です。

#6です。

自分は#2さんとほぼ同意見なんですが、ちょっと歴史を述べてみます。

> マクスウェル方程式がただ一つの電磁波速度しか与えない、

レンツの法則

逆でしょう。

ローレンツ力を考えることだな。

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