次の式の中で、必要十分でない記述はどこでしょうか?
・(z-i)^4の展開式を活用し、z^3=4iz+6z-4iを解け
------------------------------------------
(z-i)^4 = z^4 - z(z^3-4iz-6z+4i) + 1
z^3-4iz-6z+4i = 0 の時、(z-i)^4 = 1が成立。
ω= z-i とおくと、ω^4=1。従って、ω=1,-1,i,-i。
ω+i = z より、z = 1+i,-1+i,2i,0。(終了)
------------------------------------------
検証:
z=0とする。z^3=4iz+6z-4i にz=0を代入すると、0=-4i
よって矛盾。従って、上の解答は誤り。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>(z-i)^4 = z^4 - z(z^3-4iz-6z+4i) + 1 ...×
この展開は間違いだよ!
正しくは
(z-i)^4 =z^4-4iz^3-6z^2+4iz+1
=z^4 -2z(2iz^2+3z-2i) + 1
なのでそもそも
「(z-i)^4の展開式を活用して、z^3=4iz+6z-4i=0 ,,,(※)を解く」ことは不可能だね。
2iz^2+3z-2i=0
すなわち
「2z^2-3iz-2=0を解く」ことなら可能かもしれない。
したがって、(z-i)^4の展開式と「z(z^3-4iz-6z+4i)」は全くの無関係。
なので(※)を解くのに(z-i)^4の展開式の展開式が使えない。
導いた「z = 1+i,-1+i,2i,0」もすべて(※)の方程式を満たさない。
展開式が間違っているので
命題の:「(z-i)^4の展開式を活用し、z^3=4iz+6z-4iを解け」
が実行不可能になったので
---------と-------------の間の解答の計算の根拠(前提)が失われ
解答の全行が意味がなくなった。
強いて言えば全てが「必要十分でない」と言えるかもしれない。
No.3
- 回答日時:
> z^3=4iz+6z-4iを解け
もしそういう問題なら z^3=(4i+6)z-4i と書きそうなもんですよ?もしかして、
z^3 = 4iz^2+6z-4i …(1)
の写し間違いではありませんかね?
(z-i)^4 = z^4 - 4iz^3 - 6z^2 + 4iz + 1
なので
4iz^3 + 6z^2 - 4iz = z^4 - (z-i)^4 + 1 …(2)
である。(1)は方程式ですけど、(2)は恒等式です。
(a) z≠0の場合。
方程式(1)の両辺にzを掛けて恒等式(2)を代入すれば
z^4 = z^4 - (z-i)^4 + 1
つまり
(z-i)^4 = 1
である。
ポイントは、「方程式(1)の両辺にzを掛け」ることに意味があるためには z≠0 でなくちゃならんということ。もしz=0だったら「方程式(1)の両辺にzを掛け」た結果は0=0という恒等式になってしまう。さておき、
だから
z = ω+i ただしω∈{1, i, -1, -i}
ところがω=-iの場合にはz=0であって、(a)の条件に反するので、これは解に入れちゃいけない。つまり、解は
z = ω+i ただしω∈{1, i, -1} …(3)
三次方程式には解が3つだから、(3)の他に解はなく、なのでこれでおしまい。
ということでオッケなのだが、一応念のためにやっとくと:
(b) z=0の場合。
方程式(1)にz=0を代入すると、(1)は成立たない。なので、z=0は解ではない。
なので、(a)(b)より、解は(3)式の3つ。
ということになります。つまり、ご質問の-------- で挟まれた部分が(a)に、「検証:」の部分が(b)に、概ね対応してるわけです。
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