ロト7の出目が前から何番目かを求めるには

ロト7を題材に、
例えば、1,2,3,4,5,6,7から始まり、1,2,3,4,5,6,8、1,2,3,4,5,6,9....、と右側から繰り上げ31,32,33,34,35,36,37で終わる全通りに1から番号を振ったとします。
とある出目例えば「10,11,15,18,31,33,37（出目の並び順はソートされている物として）」が何番目の数字か計算で求められるでしょうか？
問題を解く上での条件に不備があるのかは確認していませんので、問題点があればご指摘下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/09/15 05:54

No.3の追加

Σ[i=1～7]{(37-n[i-1])Ｃ(8-i)-(37-n[i]+1)Ｃ(8-i)}+1
=37Ｃ7-Σ[i=1～7](37-n[i])Ｃ(8-i)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
この式に当てはめて無事に解答を得ることが出来ました。

お礼日時：2013/09/18 14:51

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2013/09/14 23:48

＞例えば「10,11,15,18,31,33,37（出目の並び順はソートされている物として）」が何番目の数字か計算で求められるでしょうか？

1,2,3,4,5,6,7から31,32,33,34,35,36,37までの数は、37Ｃ7 個
10,11,12,13,14,15,16から31,32,33,34,35,36,37までの数は、(37-10+1)Ｃ7 個
だから、
1,2,3,4,5,6,7から10,11,12,13,14,15,16の直前までの数は、37Ｃ7-(37-10+1)Ｃ7 個

12,13,14,15,16から33,34,35,36,37までの数は、(37-11)Ｃ5 個
15,16,17,18,19から33,34,35,36,37までの数は、(37-15+1)Ｃ5 個
だから、
10,11,12,13,14,15,16から10,11,15,16,17,18,19の直前までの数は、(37-11)Ｃ5-(37-15+1)Ｃ5 個

というような方法で計算していけば、10,11,15,18,31,33,37は、
37Ｃ7-(37-10+1)Ｃ7 + (37-11)Ｃ5-(37-15+1)Ｃ5 + (37-15)Ｃ4-(37-18+1)Ｃ4 + (37-18)Ｃ3-(37-31+1)Ｃ3 + (37-31)Ｃ2-(37-33+1)Ｃ2 + 1 番目になる。


一般化して、
1～37から7個選んで、n[1],n[2],・・・,n[7]（昇順とする）になったとすると、
その順番は、Σ[i=1～7]{(37-n[i-1])Ｃ(8-i)-(37-n[i]+1)Ｃ(8-i)}+1 番目となる。
（ただし、n[0]=0）

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2013/09/14 13:08

　「j+1～k の相異なる整数をm個昇順に並べたもの」を辞書順に並べた列P(m,j)において、その要素であるa=(a[m], a[m-1],…, a[1]) が何番目にあるか、というのを S(m, j, a) と書く事にします。

（ただし、aが「j+1～k の相異なる整数をm個昇順に並べたもの」になっていない場合にはS(m,j,a)=0とします。）さらに、
　　T(m,j) = S(m, j, (k-m+1, k-m+2, k-m+3,…, k))
とします。すると、
　　S(1, j, (n)) = n-j
　　S(m, j, (a[m], a[m-1],…, a[1]))
　　　　= S(m, j, (a[m]-1, k-m+2, k-m+3,…, k)) + S(m-1, a[m], (a[m-1], a[m-2],…,a[1]))
　　S(m, j, (n, k-m+2, k-m+3,…, k)) = Σ{r=j～n} T(m-1,r)
である。この漸化式を使って、お求めの順番が計算できます。ここで、
　　T(m,j) = Σ{r=j～k-m+1} T(m-1,r) = Σ{r=1～k-m-j+2} T(m-1,k-m+2-r)
なので、
　　T(1,j) = S(1, j, (k)) = k-j
　　T(2,j) = Σ{r=1～k-j}T(1,k-r) = Σ{r=1～k-j}r =(k-j)(k-j+1)/2
　　T(3,j) = Σ{r=1～k-j-1}T(2,k-r-1) = Σ{r=1～k-j-1}(r+1)(r+2)/2
　　　　= (1/2)Σ{r=1～k-j-1}(r^2) + (3/2)Σ{r=1～k-j-1}r + (k-j-1)
　　　　= (k-j-1)(k-j)(2(k-j)-1)/12+ 3(k-j-1)(k-j)/4 + (k-j-1)
　　T(4,j) = 　…
という風に簡単にできます。ってあんまりカンタンではないですが。

　ところで、stomachmanは計算間違いの常習犯ですんで、上記の式は少々間違ってる恐れがあります。が、ま、似たような漸化式になるのは間違いない。ひょっとするとウンと簡単にできるのかも知れませんけど。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/09/14 11:38

いくつかの計算をすればできるはず. 1つの式で書けるかどうかは知らん.