リー代数 キリング形式のトレース計算

リー代数gの二つの元X,Yに対して、行列ad(X)とad(Y)の積ad(X)ad(Y)のトレースである複素数を対応させ、リー代数のキリング形式をB(X,Y)=Tr(ad(X)ad(Y))と定義します。
ここで、o(m,c):m次直交リー代数のキリング形式を考えて、B(X,X)を求めたいと考えています。
B(X,X)=(m-2)Tr(Xの二乗)という結果が「リー代数入門(しょう華房)佐藤肇著」に記載されていますが(p21)、この計算がなぜそうなるのかがよくわかりません。
大変恐縮ですが、計算の方法などを詳しく教えて頂けないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/10/04 22:59

少しGoogleすると『「連続群とその表現」（島和久）読書ノート　第7章　半単純Lie代数の構造』（参考URL)というのが見つかりました．そこで実際に計算がされています．計算が長かったのでちゃんと追っていないのですが，ガリガリ計算すればいいみたいですね．

## 強いて言うなら基底としてE_{ij} - E_{ji} (i < j)を取る(取れる)のがポイント？

参考URL：http://www7.ocn.ne.jp/~shihira/shima_7.1.html

この回答へのお礼

有り難うございます。
早速確認してみたいと思います。

お礼日時：2013/10/05 10:33