標準化とは？

標準化というと、平均を0、標準偏差1とする　と説明されています。
そして正規分布にしたがって計算することを学んでいます。

例えば平均170センチであれば
185－170、それをσで割る公式があります。

平均を0とするのに170で引く行為は理解できます。
しかしそこから導いた値15をσで割るということがどうしても理解できません。

割るという行為は　１あたりの平均を出す　と理解していますが・・・・
σで割るということがしっくりきません。
どなたか宜しくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/08 14:26

＞ 割るという行為は １あたりの平均を出す と理解していますが・・・・

計算は、「意味」で考えちゃ駄目です。
恣意的な解釈は、誤解や混乱のもとにしかなりません。
定義を確認して、淡々と計算しましょう。

正規分布 N(μ,σ^2) の定義は、確率密度関数が
( 1/√(2πσ^2) )・e^( -(x-μ)^2 / (2σ^2) )
であることです。確率変数 X が、この確率密度を持つとき、
計算してみると、X の平均は μ、標準偏差は σ になります。

そのような X に対して、Z = (X-μ)/σ と置くと、
Z は確率密度関数 ( 1/√(2π) )・e^( -x^2 / 2 )
を持つ確率変数になります。
つまり、Z は正規分布 N(0,1) に従う訳です。
N(0,1) のことを「標準正規分布」と呼ぶのでした。

単純な変数変換の話です。
解釈論や哲学論の出番はありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。すいません結局よくわかりませんでした。
もう一度改めて質問させていただきます。失礼いたしました。

お礼日時：2013/10/09 19:15

No.5 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/10/08 20:23

　#3，4さんの言うように、淡々とやるのが安全ですが、それを前提にするなら、#2さんへの補足をしても良いかなと思いました。

　工学系では、標準化と正規化はけっこうごっちゃにして使われます。σで割るのは、（数学で厳密に定義されたものではない）正規化の考えの一種とも考えられます。

　例えば全然別の物理機構による現象の測定値頻度が、けっこう似てると感じるなんて事があります。そういう場合、生の度数分布を使用してると比較しにくいですが、平均シフトした測定値をσで割って「無次元化する」というのは、一つの手です。

　その結果、度数分布が本当に似ていたら、物理機構に関わらない数学的理屈が成り立ってるのではないか？、などと疑います。要は無次元化すると、見やすく（比較しやすく）なる、という事です。

　一番身近な例は、相対誤差です。なぜ相対誤差で語るかを考えれば、正規化の意味はわかるはずです。

　上記は単純な考えだけに、適用範囲は広いです。

　無次元化ではないですが、「単位当たりの」で定義される、ヤング率や電気低効率などはみな、上記の発想で考えられた物質定数です。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/08 19:17

確率密度関数の変換も、書いときましょうか。

Z = (X-μ)/σ (ただしσ>0) と置くと、
X ≦ t は Z ≦ (t-μ)/σ と同値ですから、その確率について
Prob(X ≦ t) = Prob(Z ≦ (t-μ)/σ) が成り立ちます。

X が正規分布 N(μ,σ^2) に従うなら、
Prob(X ≦ t) = ∫[-∞,t]( 1/√(2πσ^2) )・e^( -(x-μ)^2 / (2σ^2) )dx.

Z の確率密度関数を f(z) と置くと、
Prob(Z ≦ (t-μ)/σ) = ∫[-∞,(t-μ)/σ]f(z)dz.

∫[-∞,(t-μ)/σ]f(z)dz
= ∫[-∞,t]( 1/√(2πσ^2) )・e^( -(x-μ)^2 / (2σ^2) )dx
の両辺を t で微分すると、
f( (t-μ)/σ )/σ = ( 1/√(2πσ^2) )・e^( -(t-μ)^2 / (2σ^2) ).
両辺を σ 倍して、変数を w = (t-μ)/σ で書き換えると、
f( w ) = ( 1/√(2π) )・e^( -w^2 / 2 ).

この式は、f が標準正規分布 N(0,1) の確率密度関数
であることを示しています。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/08 14:08

>例えば平均170センチであれば

>185－170、それをσで割る公式があります。

個々のデータに対してこの処置を行い、平均と
標準偏差を求めたらどうなるのかを考えてみる
べきでしょう。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/10/08 13:35

>しかしそこから導いた値15をσで割るということがどうしても理解できません。

>割るという行為は　１あたりの平均を出す　と理解していますが・・・・
>σで割るということがしっくりきません。

標準偏差1の分布に換算する為です。
平均を出すためではありません。
標準偏差を１にして、平均をゼロの分布に変換すれば、標準正規分布表が利用できます。