組み合わせについて？

QNo.831096で質問したxylocaineです。いまいち理解できていない部分があるので教えて下さい。

質問内容は
9つの数字から4つの数字の組み合わせと9つの数字から5つの数字の組み合わせの数は同じでしょうか？
（1,2,3,4)と(4,3,2,1)は使われている数字が同じなので1つと数えます。
数式では
9C5=126
9C4=126
これであっているのでしょうか？
なぜ同じになるのでしょうか？
でした。

新たな疑問(1)は126で同じになったのは偶然でしょうか？
例えば10C4と10C5は同じ数の組み合わせになるとか、何か同じになる法則があるのでしょうか？

新たな疑問(2)は9C4=126の組み合わせは全て9C5=126の組み合わせに含まれるのでしょうか？
例えば（1,2,3,4)は（1,2,3,4,5)に含まれますよね？
例えば（6,7,8,9)は（5,6,7,8,9)に含まれますよね？
このように全て9C4=126の組み合わせは全て9C5=126の組み合わせに含まれるのでしょうか？

解かりやすく噛み砕いて説明していただけると嬉しいです。
宜しくお願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： PAP 回答日時： 2004/04/17 10:44

（１）偶然ではありません。

９個の数字から４つを選んだときの１２６通りの組み合わせを、紙の左側に書き並べます。紙の右側にはそのとき選ばなかった５つの数字を書いていきます。
こうして出来上がった紙の左側には４つを選んだときの組み合わせ、右側には５つを選んだときの組み合わせすべてが書かれています。どちらも１２６通りです。
紙の右側に並んだ５個の数字１２６通りの組み合わせの中で同じものがあるならば、その左側に書いてある４つの数字も同じものになりますね。例えば、右側が(5,6,7,8,9)というものが２つあるとすると、その１つには左側に(1,2,3,4)と書いてあり、もう１つの左側には別の４つの数字が・・・。あり得ません。
紙の右側に書いていない、新しい５個の数字の組み合わせが見つかった！その組み合わせを紙の右側に書いて、その左側には残った４つの数字を書いてみた。あれ？４つの数字の組み合わせ１２６通りはすべて書いたはず・・・。これもあり得ません。

ｎ＞ｍのとき、ｎ個の数字からｍ個の数字の組み合わせと、ｎ個の数字から（ｎ－ｍ）個の数字の組み合わせは常に同じです。
ですから１０個の数字から４個の数字を選ぶ組み合わせと、１０個の数字から（１０－４）個すなわち６個の数字を選ぶ組み合わせは同じです。
式で考えてもおなじになりますね。いま１０個の数字から４つの数字の組み合わせの計算式は
10x9x8x7/4x3x2x1
です。１０個の数字から６つの数字の組み合わせの計算式は
10x9x8x7x6x5/6x5x4x3x2x1
ですね。この式は分母・分子ともにの6x5がありますから、この部分を消去すると４つの数字の組み合わせの式と同じになります。

（２）含まれます
数字を５個選ぶ場合、４個選んだところへもう１個選ぶ訳ですから、４つの数字の組み合わせはすべて５つの数字の組み合わせに含まれます。
ところが、ある４つの数字の組み合わせだけは、その４つの数字すべてを含む５つの数字の組み合わせがないのです。ここにもう１つ数字を選んで５個にしました。これは新たな５個の数字の組み合わせです。これを紙の右側に書いて、残った４つを左側に・・・。そうです、あり得ませんね。

No.6 回答者： arukamun 回答日時： 2004/04/18 13:11

9C5と9C4が同じ理由は

(1,2,3,4,5) (6,7,8,9)
と表裏一体なのです。

5と4だけが特別な訳ではなく、

9C1=9C8=9
9C2=9C7=36
9C3=9C6=84
9C4=9C5=126

の様に書けば規則性が見えて来ますね。

No.5 回答者： motchandesu 回答日時： 2004/04/18 11:06

（1）

9C4 と　9C5 は同じです。
9C4 は9個から4つを選ぶ選び方ですね？
9C5 は9個から5つを選ぶ選び方ですね？
どちらも、9このものを4つと5つに分けることですよね？（これが分かりにくいかも？）

たとえば、9人をＡ班4人とＢ班5人と分けたいとき、その組み合わせは？
解１）　9人のうち、Ａ班の4人を選べばいいから、9C4を使う。（選ばれない5人は自動的にＢ班）
解2）　9人のうち、Ｂ班の5人を選べばいいから、9C5を使う。（選ばれない4人はＡ班）

もちろん、結果は同じですよね？

（2）
含まれるといっているところを見ると、集合の考えなのかな？集合として、{1,2,3,4}は{1,2,3,4,5}に含まれますが、組み合わせとしてならば、(1,2,3,4)という書き方は、1~9のうちで、1,2,3,4を選んだという意味だと捉えるべきです。組み合わせの数を考えるなら、どの数を選んだか、ではなく、どのような選び方をしたか、が問題だと思います。（分けわかんなくなっているかも？説明が下手ですみません。）
選び方を考えているのですから、そもそも、(1,2,3,4)と(1,2,3,4,5)は比べられません。

(1,2,3,4)に対応するのは、(5,6,7,8,9)です。(1,2,3,4)は（1）のＡ班、(5,6,7,8,9)はＢ班に対応します。Ａ版とＢ班のメンバーは比べられませんよね？

(1,2,3,4)が(1,2,3,4,5)に含まれるという言い方は、1,2,3,4はＡ班とＢ班両方に入っているということになります。

つまり、9C4と9C5のちがいは、選び方の違いだけです。先に（Ａ班の）4人を選ぶか、それとも先に（Ｂ班の）5人を選ぶか、どちらにするか、です。

No.3 回答者： kony0 回答日時： 2004/04/17 09:29

前回にも同じ趣旨の回答がありましたが・・・（今回の#2さんも同じ趣旨ですね）

「１００個のうち９８個を選ぶ選び方は？」
という問題が出されたら・・・
選ばない２つを決めて捨てたくなりませんか？
（これとこれとこれと・・・って９８個選ぶのではなく、「これとこれ以外全部ちょうだい」という言い方をするでしょう？）

つまり、「１００個のうち２個を捨てる捨て方は？」と同じ問題となります。

したがって、100C98 = 100C2 となります。

法則というか公式として、nCr = nC(n-r) というのがあります。

No.2 回答者： mousengoke 回答日時： 2004/04/17 07:45

>疑問(1)は126で同じになったのは偶然でしょうか？

いえ、偶然ではありません。9つの数字から4つ選ぶのも5つ選ぶのも実質同じです。例えば
4つ選ぶときに
1,2,3,4
を選ぶのと
5,6,7,8,9
を選ぶのはどっちを選ぶか選ばないかが逆になるだけです。
この組み合わせはすべて1対1に対応します。

>例えば10C4と10C5は同じ数の組み合わせになるとか、

なりません。10C4の場合同じになるのは10C6です。

>疑問(2)は9C4=126の組み合わせは全て9C5=126の組み合わせに含まれるのでしょうか？

?それは9C4の組み合わせにある任意の数列が必ず9C5の組み合わせに含まれるということですか？
4つ選んで残りの5つの中からひとつ選んだものはすべて9C5に含まれているはずです。

No.1 回答者： sayakakiss 回答日時： 2004/04/17 07:13

（5,6,7,8,9)には（6,7,8,9)のほかに（5,6,7,8）も含まれるから全然関係ないんじゃない？126で同じになったの

はたまたまじゃない？