記号(数式)の意味について

Question

数学の記号で書かれた、次の集合についての質問です。

Π(Z/pZ) / ＋(Z/pZ)　　 
と書いたときの、記号の意味が、よくわかりません。
(ただし、＋は直和を表すものとし、Πはpが素数全体を動くものとします。)

どのような意味かわかれば、教えて頂けないでしょうか？

ask-it-aurora · Accepted Answer

>もしも可能であれば、その部分だけ、若干の補足を頂けないでしょうか？

"##"からはじまるコメントの部分のことでしょうか？ それは何故Iのことを+(Z/pZ)と書くのかを説明するつもりで書きました．

Iは確かに
 I = { x = (x_p)_{p∈P} ∈R | ∃p∈P.∀q∈P.(q > p ⇒ x_q = 0) }
となるのですが，これだけを見ると何故それを+(Z/pZ)と呼ぶのかよくわからないと思います．先の回答のI_pは要するにx_p成分だけが残ったRの部分集合ですが，これはZ/pZと環同型です．（細かいことを言うとRとI_pの乗法単位元がズレているので流儀によってはI_pをRの部分環とは呼ばないので言葉遣いには注意が必要．）なのでZ/pZ ↪ Rと環として埋め込むことができ，その単射準同型像はI_pです．したがってI = +I_p のことを記号の乱用をしてI = +(Z/pZ)と呼んでもよいでしょう，ということです．つまりR/Iという記号がキチンと意味を持つためには「+(Z/pZ)と書いているのは正確には+I_pのことで記号の乱用をしているのだ」と理解しないといけないというわけです．

## 僕はいままでこの環R/Iを見たことも触ったこともなかったのですが，もしよければどの本，あるいは問題でコレが登場するのか教えてくれませんか？

ask-it-aurora · Answer

記号の意味は文脈によって決まります．定義に戻ってひとつひとつ確認しましょう．
おそらく問題の集合は代数学（環論）で登場したのでしょう．この場合，その意味するのは（常識的には）次のものです．（どの程度のことを知っているのかよくわからないので少し冗長に書きます．）

まず素数全体からなる集合をPとおきましょう．

R := Π_{p∈P}(Z/pZ)
とおくと，これは集合としては環Z/pZの要素x_pたちの組x = (x_2, x_3, x_5, …)からなる集合
R = { x = (x_p)_{p∈P} | x_p ∈ Z/pZ }
です．さらにこの集合Rの元x = (x_p)_{p∈P}, y = (y_p)_{p∈P}には各要素の和と積を使って
和 x + y := (x_p + y_p)_{p∈P}
積 xy := (x_p y_p)_{p∈P}
が自然に定義され，環になります．要するにRは環の族{Z/pZ | p∈P}の直積環です．

次に
I := +_{p∈P}(Z/pZ)
とおくと，これは集合としてはx_p≠0となるp∈Pが有限個であるような集合Rの部分集合
I = { x = (x_p)_{p∈P} ∈R | ∃p∈P.∀q∈P.(q > p ⇒ x_q = 0) }
です．さらにこれは環Rの部分集合なので和と積が定まっていて，イデアルの条件
(i) ∀x, y ∈ I. x + y ∈ I
(ii) ∀x ∈ I, ∀r ∈ R. xr ∈ I
を満たすので，環Rのイデアルです．
## つまりZ/pZと環Rの部分集合I_p := { (x_q)_{q∈P) | p≠q ⇒ x_q = 0 }を同一視したとき，Iは環Rのイデアルの族{I_p | p∈P}の直和I = +_{p∈P}I_p "=" +_{p∈P}(Z/pZ)になるということ．

さて問題の
R/I = Π_{p∈P}(Z/pZ) / +_{p∈P}(Z/pZ)
は集合としては
x ~ y ⇔ x - y ∈ I
で定まる同値関係に関する同値類全体からなる商集合R/~です．いまx ∈ Rの同値類をx + Iと書くことにすると
和 (x + I) + (y + I) := ((x + y) + I)
積 (x + I)(y + I) := xy + I
が定まりR/Iは環になります．要するにR/Iは環RのイデアルIによる剰余環のことです．

記号(数式)の意味について

>もしも可能であれば、その部分だけ、若干の補足を頂けないでしょうか？

この回答への補足

記号の意味は文脈によって決まります．定義に戻ってひとつひとつ確認しましょう．

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング