累次積分

∫[0,1]∫[0,x]√(x+y)dydx

詳しい解説お願いします。

特に√(x+y)をyで積分したときの形がわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/12/12 23:16

∫[0,1]∫[0,x]√(x+y)dydx

=∫[0,1]dx∫[0,x](x+y)^(1/2) dy
yで積分する際はxは[0,1]の範囲の定数として扱えばよいから
=∫[0,1]dx[(2/3)(x+y)^(3/2)][0,x]
=∫[0,1] (2/3){(2x)^(3/2)-x^(3/2)}dx
=(2/3)∫[0,1] {2^(3/2)-1}x^(3/2)dx
=(2/3){2^(3/2)-1}[(2/5)x^(5/2)][0,1]
=(2/3){2^(3/2)-1}(2/5)
=(4/15)(2√(2)-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりました。

お礼日時：2013/12/14 00:04

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/12/12 23:48

あちゃ～、

NO１で、
こんな簡単な計算問題を間違ってしまった！！

NO２さんが正しいです。

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/12/12 23:05

☆特に√(x+y)をyで積分したときの形がわかりません。

◇はて？

累次積分において、
yで積分する際、
xは定数として扱うのでは・・・。
　∫[0,x]√(x+y)dy
　∫[0,x](x+y)^(1/2)dy
= 1/(1+1/2)・[(x+y)^(1+1/2)][0,x]
= (2/3)・(x + x)^(3/2)
= ……

あとは、普通の積分でしょう。


まさか、xが定数の時、
　∫√(x+y)dy
ができないということはないですよね。
t = x+y
とおいて、置換積分をすればいい。