辺ABと直線との交点をE、辺CDと直線との交点をQとする。
四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき、
円周角∠APD = ∠DPC = ∠CPB = ∠BPA = 90°(1)
弧AB = 弧BC = 弧CD = 弧DA (2)
弦AB = 弦BC = 弦CD = 弦DA (3)
以上で四角形ABCDは正方形であると証明された。
次に点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引く。
(1)(2)(3)より
AE = BE CQ = DQ
AE = CQ BE = DQ
AE = DQ BE = CQ
よってPを通って辺ABに垂直な直線は辺CDを2等分する。
よって証明された。
これで証明できているのかがわかりません。
教えて頂けないでしょうか。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
補足の部分。条件が定かではないので、そこを確かめたいのですが。
まず、この問題は「円に内接している四角形」の話だと思うのですが?
もしそうだとすると、「対角線が直行する」ことで
その四角形は ひし形か正方形 ですので(前述のとおり)、
円に内接していることから、ひし形ではありえない。
したがって、正方形。 これで証明終わり。
(1)(2)(3)は、正方形だと説明しているだけで、必要ありません。
もう一つ、点Pは正方形の対角線の交点かつ円の中心ですので、
もしも証明するのなら、⊿APE≡⊿BPE について証明したほうシンプルでしょうね。
あるいは前述のとおり、対称性を使うかですが、ちょっと見えにくいかな?
(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
No.5
- 回答日時:
あ、また僕の証明に間違いありました
△ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心
にあり、その対辺は等しく、 AB=BC=CD=DA である (1)
↓
△ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心
にあり直角、2辺が半径に等しい、直角二等辺三角形なので、
直角のその対辺も等しく、 AB=BC=CD=DA である (1)
(ちょっと日本語おかしいですけど、通じることは通じるかな)
No.4
- 回答日時:
元の問題文はどんなんですか?
四角形 ABCD が正方形であることを証明しろおいう問題ですか?
そうであれば、以下のように証明できます
――――――――――――――――――――――――――
△ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心
にあり、その対辺は等しく、 AB=BC=CD=DA である (1)
△ ABP は2辺が半径の二等辺三角形なので、角 APB 以外の
残りの2つの角度は (180 - 90) / 2 = 45度
△BCP、△CDP、△DPA も同様に円の中心にある以外の
残りの2つの角度は 45度
したがって、四角形 ABCD の4つの角度はいずれも
45度 + 45度 = 90度 (2)
(1)、(2) より 四角形 ABCD は正方形である
――――――――――――――――――――――――――
9894380835 さんの証明でおかしいのは
最初に
「辺ABと直線との交点をE、辺CDと直線との交点をQとする。」
と言っていますが、直交すると言ってません
(細かいですが、1つめの交点が E なら 2番目は F、
Q と言いたいなら、1つめの交点を P、2番目を Q、
円の中心は O(オー)とするのが普通です)
その後、
「次に点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引く。」 と言い、
あたかも EQ が AB に垂直なように話を進めてますが、
EQ が AB に垂直かどうかわからないので、
その後の証明は間違いとなります
また、
「円周角∠APD = ∠DPC = ∠CPB = ∠BPA = 90°(1)」
と言ってますが、円周角ではなく、中心角です
言葉の使い方が間違っています
もう1つ、正方形というためには、4つの角度が直角であることを
言わないといけません
4辺の長さが等しいというだけでは、単なるひし形ですので、
その議論ももう一歩足りません
No.1
- 回答日時:
ハイちょっとお邪魔。
代数屋さんだけど。
遠回りしているかもね。
>四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき
これで、正方形かひし形 が分かるから、「円に内接している」ようなので、
ひし形はありえない。よって正方形は証明できるよ(というより明らか)。
この場合、対角線の交点と円の中心は一致するので、
対称性がいえて、弧も、弦も、等分するね。
対称性より明らかでもいいと思うよ。
(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
証明できているけれど、余計なことが多すぎるかもしれない。
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