高校数学（外接円） の問題・再掲

2014-01-03 11:28、genki98 さんが質問し、既に締め切られてしまった質問です。
難しくて、ベストアンサーがなかったため、再掲載します。どなたか、わかりやすい解き方を教えてください

問題文は：
――――――――――――――――――――――—
AB ＝ 8、BC ＝ 7、AC ＝　６である △ABC がある
∠ A の二等分線が BC と交わる点を D、
直線 AD と △ ABC との A 以外の交点を E とする。
このとき、次の問に答えよ。
（１）　AD・ＤＥ　の値を求めよ。
（２）　CE・CE の値を求めよ。

――――――――――――――――――――――—

正解は教えて貰っていませんが、僕の答えは
（１） 12、（２） 16　です
違ってたりして（汗）
でも、あまりスマートに解けなかったので、スマートな解答をお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： kiiyan 回答日時： 2014/01/08 18:30

スマートかどうかは自信がありませんが

角の二等分線の定理から
AC:AB=CD:BDとなるので、6:8=3:4。距離が7cmなので、CD=3cm、BD=4cm
辺AD=√(AB×AC-BD×DC)から、√(6×8-3×4)=√36=6cm

三角形に外接する円の定理から
辺BEの対角は等しくなるので∠BAE=∠BCE
同じく、辺CEの対角は等しくなるので、∠EBC=∠EAC
ここで、∠BAE=∠EAC(二等分線より)なので、∠BCE=∠EBC
よって、⊿EBCは二等辺三角形となるから、CE=EB

対角の定理から
∠ADB=∠CDE、∠CDA=∠EDB

ここで、⊿ADB∽⊿CDE、⊿CDA∽⊿EDB

これらから、辺CD:辺DE=辺AD:辺DBより、3:辺DE=6:4　辺DE=2cm

(1)AD×DEは、上記より6cm×2cm=12cm

同じように、辺CE:辺ED=辺AB:辺BDより、辺CE:2=8:4 辺CE=4cm
(2)BE×CEは、EC=EBから、4cm×4cm=16cm

この回答への補足

No.1、No.2、No.3 さん、どれも僕にとってベストアンサーですが、「角の二等分線の定理」を知らなかった僕に、ハッキリ教えてくださり、また、各辺の長さを求め、スッキリしましたので、No.2 さんをベストアンサーにしました

No.1 さん、No.3 さんもすごい良い回答ありがとうございます

補足日時：2014/01/09 01:58

この回答へのお礼

＞　角の二等分線の定理から
＞　AC:AB=CD:BDとなるので、6:8=3:4。
＞　距離が7cmなので、CD=3cm、BD=4cm

あっ！ そんな定理あったのですね？
僕は相似形の比から導いてました
それ、常識だったのですね？
No.1 さんは、常識として使ってたんですね
ごめんなさい ＞ No.1 さん

＞　辺AD=√(AB×AC-BD×DC)から、√(6×8-3×4)=√36=6cm

これもなんかの定理なんですか？
勉強不足でごめんなさい

お礼日時：2014/01/09 01:42

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2014/01/08 20:18

中学数学の範囲で解くと。

(1)
線分ADは角CABの二等分線であるから、BD：CD＝4：3
よって、BD＝4cm、CD＝3cm

三角形ABD∽三角形CEDであるから、AD：DB＝CD：DE
これより、AD・DE＝DB・CD＝12

これは2つの交わる弦に対して「方べきの定理」と呼ばれる内容になっています。

(2)
上の三角形の相似比が求まれば、CEの長さが求まる。
そのために、ADの長さ（またはDEの長さ）が求まればよい。

三角形ADC∽三角形ABEより、AC：AE＝AD：AB
ここで、(1)よりAE＝AD+DE＝AD+12/ADを代入して
　6：(AD+12/AD)＝AD：8
　AD・(AD+12/AD)＝48
　AD^2+12＝48
　AD＝6cm

あとは、三角形ABD∽三角形CEDより CE＝4cmとなり、CE・CE＝16

この回答へのお礼

＞　線分ADは角CABの二等分線であるから、
＞　BD：CD＝4：3
＞　よって、BD＝4cm、CD＝3cm

No.1、No.2、No.3 さん、みんな角の二等分線の定理
は常識なんですね！ （僕、知らずに恥ずかしいです）

三角形ADC∽三角形ABE というの見落としてました
なるほど！

これで全部の辺の長さ、わかっちゃうのですね！
スッキリしました

お礼日時：2014/01/09 01:51

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/01/08 18:29

(1)角A、B,Cの大きさをA,B,Cで表す。

CEとEBは同じ円周角A/2を有するので等しい。

CE=EB=xとする。

AD＝y, DE=zとする。

⊿ABD∝CEDなので（確認のこと）

x/8=3/y=z/4

AD・DE=yz=12


(2)要するにxがわかればよい。

⊿ABCと⊿EBCが同じ外接円を有するのでその半径をRとすると正弦定理より

sinA/7=1/2R=sin(A/2)/x

x=7/(2cos(A/2))

余弦定理より

cosA=(6^2+8^2-7^2)/2/6/8=17/32

倍角公式より

cosA=2cos(A/2)^2-1=17/32

cos(A/2)=7/8

x=4

QED

この回答への補足

No.1 さんの回答を最初に見て、「お礼」で質問しましたが、
No.2 さん、No.3 さんの回答を見て、納得しました！

勉強不足で、恥ずかしい質問をして済みません

補足日時：2014/01/09 01:54

この回答へのお礼

とても早い回答ありがとうございます

でも、

＞　⊿ABD∝CEDなので（確認のこと）
は良いとして

＞　x/8=3/y=z/4
BD ＝ 4、CD ＝ 3 はいつ導いたのですか？
僕も 4 と 3 だと思いますが、
計算してからでないと言えないと思います

＞　AD・DE=yz=12
これも正しいのですけど、僕にははしょり過ぎ
で論拠わかりませんでした

（２）こんな導き方もあるのですね！

僕は △ABC で角Ａについて余弦定理を使い、
cos A を導き
角E は π － A ですので、
△ BCE で角E について余弦定理を使い、
BE ＝ CE ＝x を導きました

ちょっと似てるけど、違うやり方もあったんですね！

お礼日時：2014/01/09 01:25