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三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとし、AB=6、AM=4、cos∠AMB=-1/8とする。

1. BMの長さをxとする。xを求めよ。
2. ACの長さbおよび△ABCの面積Sを求めよ。
3. ∠Bの2等分線と辺ACとの交点をNとするとき、△ABNの面積Tを求めよ。

教えて下さい。
宜しくお願い致します。

A 回答 (3件)

1


△ABMに余弦定理を適用して

AB^2=AM^2+BM^2-AM*BMcos∠AMB

AB=6、AM=4、cos∠AMB=-1/8, BM=xを代入すると

36=16+x^2-2*4x(-1/8)
x^2+x-20=0
(x+5)(x-4)=0

xは辺の長さなのでx>0

∴x=4 ...(答え)

2
BC=2BM=2*4=8
AM=BM=CM=4ゆえ△ABMと△ACMは二等辺三角形

∠B=∠BAM,∠C=∠CAM
∠B+∠C=∠BAM+∠CAM=∠A=180°-∠A
∴∠A=90°

△ABCは∠A=90°の直角三角形なので

3平方の定理から
 AC^2=BC^2-AB^2=8^2-6^2=64-36=28
b=AC>0より
∴b=AC=√28=2√7 ...(答え)

△ABCの面積=(1/2)AB*AC=(1/2)*6*2√7=6√7 ...(答え)

3
角の2等分線定理より

 AN:CN=AB:BC=6:8

△ABNと△ABCの面積比は高さ共通なので底辺の長さの比に等しいから

 (△ABNの面積)/(△ABCの面積)=AN/AC=AN/(AN+CN)=6/(6+8)=3/7
∴△ABNの面積=(3/7)(△ABCの面積)=(3/7)*6√7=(18/7)√7 ...(答)
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No.1 ですが、(3) を間違えてました


N は AC の中点ではなく、∠B の二等分線でしたので
訂正します:

―――――――――――――――――――――――


(1)

A から BC に垂線をおろし、BC との交点を H と置きます

すると、cos ∠AMB = - 1/8 より、H は M より C 側の点で

MH = 4 × 1/8 = 1/2

となります

△AMH は直角三角形なので

AM^2 = MH^2 + AH^2

4^2 = (1/2)^2 + AH^2

AH^2 = 63/4

AH = (3/2)√7

△ABH も直角三角形なので

AB^2 = BH^2 + AH^2

6^2 = BH^2 + 63/4

BH^2 = 36 - 63/4 = 81/4

BH = 9/2 = 4.5

x = BM = BH - MH = 9/2 - 1/2 = 4

(2)

△AHC も直角三角形なので

AC^2 = AH^2 + CH^2

b^2 = 63/4 + (4 - 1/2)^2 = 28

b = 2√7

△ABC の面積 S = 1/2 × BC × AH
           = 1/2 × 8 × (3/2)√7
           = 6√7

(3) AN : NC = AB:BC = 6:8 = 3:4 なので
    △ABN の面積 T は △ABC の面積 S の 3/7 なので (18/7)√7

【答え】
(1) x = 4
(2) b = 2√7
   S = 6√7
(3) T = (18/7)√7
「三角比の問題について。」の回答画像2
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(1)



A から BC に垂線をおろし、BC との交点を H と置きます

すると、cos ∠AMB = - 1/8 より、H は M より C 側の点で

MH = 4 × 1/8 = 1/2

となります

△AMH は直角三角形なので

AM^2 = MH^2 + AH^2

4^2 = (1/2)^2 + AH^2

AH^2 = 63/4

AH = (3/2)√7

△ABH も直角三角形なので

AB^2 = BH^2 + AH^2

6^2 = BH^2 + 63/4

BH^2 = 36 - 63/4 = 81/4

BH = 9/2 = 4.5

x = BM = BH - MH = 9/2 - 1/2 = 4

(2)

△AHC も直角三角形なので

AC^2 = AH^2 + CH^2

b^2 = 63/4 + (4 - 1/2)^2 = 28

b = 2√7

△ABC の面積 S = 1/2 × BC × AH
           = 1/2 × 8 × (3/2)√7
           = 6√7

(3) △ABN の面積 T は △ABC の面積 S の 1/2 なので 3√7

【答え】
(1) x = 4
(2) b = 2√7
   S = 6√7
(3) T = 3√7
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