1/2÷1/2はなぜ１になるのか？

Question

計算で1になる事は重々承知なのですが、ふと思ったことがありまして、
1/2を1/2したら1/4になるような気がしたのですが、もし図や絵などで
小学生の子供に説明する時はどのように教えたら良いでしょうか？
半分の半分という考え方がおかしいのでしょうか？
よろしくお願いします。

Doctork1n4d1 · Accepted Answer

一案ですが、例えば次の計算を見て下さい。

6 ÷ 2 = 3

これに関しては二つの説明が出来るかなと思います。

(1)6を2つにわけると3になる。
(2)6の中に2はいくつあるか、3つ。

(2)の説明をすると1/2の中に1/2はいくつありますか。
1つです。

というような説明が成立するかと思います。

図で言うと例えば

2 ÷ 1/2 = 4

を説明する際に、

「白抜きの円を2つ書いて、黒で塗った半円を上に乗せていって白円二つを埋めるには4個必要になる」

と言うようになるかと思います。

1/2 ÷ 1/2 =  1

は「白い半円に黒い半円を乗せて黒で埋めるには黒い半円は1つ必要になる」

という説明は如何でしょうか。

x ÷ y =  z

をxからyずつ取り除いていくとz回取れる。
と解釈すれば良いと思います。

一案ですが、参考になりましたら幸いです。

lazydog1 · Answer

>1/2を1/2したら1/4になる
>半分の半分

それは何の計算かということですね。掛算ならそうなります。掛算や割算で答が変わらない1以外で、かけ算とわり算の答が同じになることはありません。例えば、何かに2を掛けるのと、2で割るのは同じ答にはなりません。

1/2で割るってなんでしょうか。一つの考え方として、「1/2で何回引けるか」ということがあります。1/2でない例で、「12個のミカンを1組3個ずつに分けると、何組できますか？」というわり算の問題はよくあります。

12から3を引いていくと、9（1回目）、6（2回目）、3（3回目）、0（4回目）と4回引けます。なので、答は4です。慣れたら見当を付けて、かけ算の3×4＝12からすぱっと4を出すんですが、かけ算は何回も足すのを手早く計算する方法だからですね。わり算はかけ算の逆で、何回も引くことです。

1/2から1/2は1回だけ引けます。だから、答は1。

しかし、1/4÷1/2（答は1/2）はどうでしょうか。1/4は1/2より小さいから、引けませんね。そういうときは、割られる数の分子で先に計算してしまうのです。計算のきまりで言えば、1/4は1×1/4と書けます。すると、1/4÷1/2＝1×1/4÷1/2＝(1÷1/2)×1/4ですね。つまり、分子で計算しておいて、分母は最後に付け足せばいいのです。

1から1/2は2回引けます。分子で計算した答は2。それに分母の4をつければいいわけです。2/4＝1/2です

しかし例えば、1/3÷5/4はその方法でもできません。5/4は1より大きいから、1/3の分子の1からでも引けません。いろんな方法がありますが、わり算の「割られる数と割る数に同じ数を掛けても、答は同じ」というきまりを使ってみましょう。

割る数の分母の4を使うとやりやすいでしょう。1/3×4＝4/3、5/4×4＝5ですね。だから、4/3÷5を計算すればいいのです。分数の計算では、分子を5で割るのと、分母に5を掛けるのは同じ答になります。だから、3×5＝15を使って、答は4/15です。

P.S.

計算のきまりを使えば使うほど、直感でパッと分かるようにはいかなくなります。でも、それで正しい答が出ることを納得するのが大切です。全体をぱっと眺めて分からなくても、間違えずに丹念に一つずつ計算すれば正しい答にたどり着けるのが、算数（や数学）が本当に便利なところだからです。

kanemoto_s · Answer

＞どのように教えたら良いでしょうか？

他の方が回答されているので問題の解き方は省略します。
回答8,9,10辺りでいいとおもいます。

よくある落とし穴を書いておきます。

例えばなしで失敗するパターン。
つまり、分割できない例えで割り算理解しようとした場合です。
＃８のりんごの説明のところで、りんごをお金とか人間とかでは説明できませんよね。
分数を始めるときに分割できない物で理解していた場合の落とし穴ですから、延々と分割できる面積などで考え直すのがいいでしょうね。
どんな場合にでも分数の計算が適用できるわけではないことも教えておきましょう。
（実際の物理世界では面積が延々と分割できるわけではないらしいですし、速度は光速以上にはならないわけですから）

国語の問題

数学の問題は数学の記法だけで表現できるものでのみ構成されていますが、それを脳が理解できるかは別です。
結局、数学表現を理解可能な自然言語（国語）の表現に焼きなおさなければ（通常）理解はできませんし、そもそも他人に伝えることができません。

同様に自然言語（国語）の表現を数式に置き換えるのも、表現の焼き直しが必要ですので、ここでつまずく人も多いです。

結局算数ができる人は、
・数学の記法の基本を理解
・数学の記法の意味を理解し国語に変換
・国語を数学の記法に変換
ということを、あまり気にすることなく実現してしまっている人です。

ちなみに小学校算数から中学1年代数くらいまでは、
０ １ ＋ － × ÷
の意味を理解することとその組み合わせから生じる系（世界）を理解することに心血が注がれていて、論理的（基本を応用して）に考えると自明（あたりまえ）なことのみを教えています。（図形は少し毛色が違います）
ここで算数の教育というのは間違えを正すことだけが問題ではなくて、何故間違えたかを知ることの問題でもあります。
当たり前な事を間違えたときに、どう修正するかが問われていると言っていいです。
放っておけば、間違いを修正できないこまったちゃんになってしまいますから、いろいろな人の意見を聞くこともお勧めします。

asuncion · Answer

つまるところ、a ÷ a
という計算をしているわけですから
1 になるのはほぼ自明です。

shuu_01 · Answer

僕は算数とか数学の授業であちこち理解できないことがありましたが、その大半は先生の理解不足で間違った説明をしてるのが原因でした。小学生の頃はその度に先生に質問しても納得いく回答がなく、自力で考え抜いて解決していました

「1/2÷1/2はなぜ１になるのか？」というのは良い質問ですが、本当に自分がわかっていたら、自分の言葉で説明すると良いです

「1/2を1/2したら1/4になるような気がしたのですが」1/2 を 1/2 したら 1/4 で正しいです

「1/2÷1/2」 と 「1/2を1/2したら」の違いに気づかない大人が子供に説明すると、子供はますますわからなくなって混乱するので、塾に行って勉強するか、家庭教師を付けると良いです

KEIS050162 · Answer

確かに国語の問題でしょう。

式として考えると、”分数で割る”ということは、”分子分母をひっくり返してかける”のと同じと教わったと思いますし、こういう風に覚えてしまえば後は機械的に計算すれば良いのですが、その意味するところは国語でなければ表現出来ないかも知れませんね。

私は、分数で割る、ということは全体を知る　ということと理解しております。

例えば、６等分されたケーキ１ピースが２４０円だったら、全体はいくらか？

２４０円が全体の１／６に相当しているならば、全体を求める為には、２４０円を１／６で割ると全体を知ることが出来る。（相当算の考え方）
２４０円は１／６に相当しているのだから、全体は、２４０円を６倍したもの。即ち１４４０円。

結果的には、分子分母を入れ替えてかけたのと同じことになる。

なので、全体の　１／２　に相当しているものを　１／２で割るということは、結局全体が求まる。（１を１／２倍して、１／２で割れば１に戻る）

ご参考に。

ORUKA1951 · Answer

皆さん算数として答えてらっしゃいますが・・これは算数ではなく国語ですよ。

(1) 1/2÷1/2はなぜ１になるのか？
と
(2) 1/2を1/2したら1/4になるような気が

は全く逆を言っていることが分かりますか？？？
　分数(1/2)とは、半分を単位とする量と言う意味でした。(小2,小3)
(1)1/2(半分)÷1/2(半分) とは、1/2を1/2を単位として数えるといくつかと言う意味
(2)1/2を1/2したら・・・とは、1/2(半分)にしたものを1/2(半分)にしたらという意味

「学生の子供に説明する時はどのように教えたら良いでしょうか？」
「しっかり読んで、意味を理解しよう」と教えましょう。
　　数学が苦手な子は、実は国語が苦手な子なのです。

shuu_01 · Answer

掛け算、割り算の理解には リンゴの個数、四角形の面積、速度とかいろいろ例をあげて説明できますが、

今回はリンゴの絵で説明します

１人分のリンゴを ２個として、３人分のリンゴは ６個になります

２ × ３ ＝ ６

リンゴが６個あり、１人分のリンゴを２個とすると、何人分のリンゴがあるか？

６ ÷ ２ ＝ ３

と計算することができます

リンゴ６個あり、３人の人で分けると、１人 何個になりますか？

６ ÷ ３ ＝ ２

と割る方は １人分のリンゴの個数でもよいし、人数でも良いです

分数の割り算はちょっと難しくて、

１人分のリンゴを １／２個とします
リンゴ１個は何人分ですか？

１
１ ÷ —— ＝ ２
　　　２

２人分となります

１人分のリンゴを１個とします
リンゴ １／２ 個は何人分ですか？

１　　　　　　　　１
——　÷ １　＝ 　——
 ２　　　　　　　　２

１／２ 人分 （半人分）しかありません

１人分のリンゴを１／２個とします
リンゴ １／２ 個は何人分ですか？

１　　　　１
——　÷  ——　＝ １
 ２　　　　２

ちょうど １人分となります

tpg0 · Answer

失礼いたしました。 

1/2÷1/2＝1 でしたね。 

これも、分母の数が同じなので分子の1÷1を計算すると1になることが分かるはずです。 

ですから、1/2÷1/3＝3/6÷2/6 になり、3÷2＝1.5となります。

anchinomi622 · Answer

子供さんへの説明とのことですが、分数÷分数では説明が複雑になるため、まずはわかりやすい例題を使い、順を追って伝えてはいかがでしょうか。

100÷50＝2
100÷10＝10
100÷5＝20
100÷1＝100

上記のような例題を使って、「小さい数で割るほど答えは大きくさくなってゆき、1で割った場合はもとの数（100）と同じになる」ということを伝えます。すると、1/2など、1より小さな数で割った場合はもとの数より増えるということが感覚的に分かりやすいかと思われます。

100÷1/2＝200
20÷1/2＝40
5÷1/2＝10

次に上記のような例をあげると、「1/2で割ることは2を掛けることと同じ」であることが分かるかと思います。
最後にご質問の「1/2÷1/2」の式を見せれば、「1/2を2倍して1になる」ことが伝わるのではないでしょうか。
よろしければお試しください。お子さんが数の面白さに気づいて数学好きになるといいですね。

1/2÷1/2はなぜ１になるのか？

一案ですが、例えば次の計算を見て下さい。

>1/2を1/2したら1/4になる

＞どのように教えたら良いでしょうか？

つまるところ、a ÷ a

僕は算数とか数学の授業であちこち理解できないことがありましたが、その大半は先生の理解不足で間違った説明をしてるのが原因でした。

確かに国語の問題でしょう。

皆さん算数として答えてらっしゃいますが・・これは算数ではなく国語ですよ。

掛け算、割り算の理解には リンゴの個数、四角形の面積、速度とかいろいろ例をあげて説明できますが、

失礼いたしました。

子供さんへの説明とのことですが、分数÷分数では説明が複雑になるため、まずはわかりやすい例題を使い、順を追って伝えてはいかがでしょうか。

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