ゼノンの逆理について。

有名なゼノンの逆理のひとつアキレスと亀の問題の解説のひとつに、「無限に足していくことはできるが最終的に和２を持つから追いつく」というものがありました。
つまり、「アキレスの1/2の速度を持つ亀を、アキレスが追い越すとき、その計算は1+1/2+1/4+・・・と無限に加算することとなるが、和２を持つので追いつく」ということです。
ここで数学が素人の私は、無限に続くのになんで和２を持つと証明できるの？と思ってしまいます。
ずーっと加算していっても、永遠に到達できない点が無限である所以ではないのでは？という（屁）理屈です。
1億桁計算しても、1京桁計算しても、１不可思議桁計算しても２ではないのなら、なぜ２と言えるのか？そもそも無限に計算することなんて無理なのでは？

どこを誤解してるのでしょう？

これが無限と言うものであるのであれば、他の対象を取り扱った無限、例えば熱力学第３法則（でしたっけ？）「有限回数の操作で絶対零度に到達することは不可能」というのは、無限回数の操作では到達できると言うことで、アキレスの問題でできるなら絶対零度だってと思ってしまいます。

私の誤解を一刀両断にしてくれる回答をお待ちしております。

No.2 回答者： yuukk29 回答日時： 2001/06/03 04:09

えーと、半端な回答になってしまうのですけど。

。。
等比級数1/2、1/4、1/8、・・・、(1/2)^∞の和は1になるからです。「収束」とした方がいいのかな。。。
タブン上の方に詳しい方が回答されると思うんですけど。

ゼノンのパラドックスについは結局、カメに追いつくまでの作業を細かく分けて考えているだけなんですよね。

この回答への補足

そうねんですよね。

（１）．「追いつく」間での作業を無限に細かくできる
（２）．１より、計算で求めようとすれば無限回計算する必要がある。
（３）．無限回計算することは不可能である。
（４）．２および３より計算している間はいつまでも追いつけない。
（５）．しかし、終わることない計算のはず（無限に計算するのが不可能なのは、無限に数えられないのと同じ）なのに、「追い越す」ことができる。つまり計算している間は追いつけないのに、無限の彼方に（無限の計算がなされたとすると）追いついている。

いやはや。もしかして言葉の意味とかも関係してくるのでしょうか？

補足日時：2001/06/03 09:09

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
補足の方もご覧ください。

お礼日時：2001/06/03 09:02

No.1 回答者： happy_people 回答日時： 2001/06/03 03:23

秒速2mのアキレスと、秒速1mの亀、亀はアキレスの2m手前からスタート、とすると、

ゼノンの言い分は、
スタート1秒後：アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前
そこから0.5秒後：アキレスは亀のスタート位置＋1m、亀は0.5m前
そこから0.25秒後：アキレスは亀のスタート位置＋1.5m、亀は0.25m前
・・・
だからアキレスは亀に追いつけないというものですね。
この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。「スタートから2秒後」がミソです。有限時間です。

別の言い方をすれば、ゼノンは「２秒未満ではアキレスは亀に追いつけない」といっているに過ぎないのです。

一方絶対零度の方は、毎回の操作は同じ時間と考えるのですよね。
1回目の操作：絶対Ｘ度
2回目の操作：絶対Ｘ/２度
3回目の操作：絶対Ｘ/４度
・・・
この計算を無限に進めると「無限回の操作で絶対零度」になります。しかし、この場合、必要な時間が有限ではないのです。

２回目以降の操作が前回の操作の半分の時間になるなら、アキレスが亀に追いつくのと同様に、有限時間で絶対零度にたどり着けます。

この回答への補足

なるほど。
まず、熱力学第３法則？はなぜ真なのかは理解できました。ゼノンの方が有限時間の中で無限に計算するのに対し、到達するのに使う時間が無限だからと言うことですね。しかし、

♪この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。

無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「２」と言う解に到達するのが理解できません。人間の神経伝達速度より速い、コンピュータの計算をつかさどるパルスの速さをもってしても、計算する回数が無限なら、なぜ解が有限時間になるのでしょうか？
あの、一応弁解しますが、私ももちろん本気で追いつけないとは思っていないんです（当たり前ですが）。でも、無限を考えるとどうも論理的帰結に矛盾が生じると感じてしまうんです。
無限を数えることはできても（アレフ・ゼロ）無限に数えることはできない・・・と思ってます。

補足日時：2001/06/03 03:33

この回答へのお礼

深夜にも拘らず素早いご回答どうもありがとうございます。
補足の方もご覧ください。

お礼日時：2001/06/03 03:33