いまさら ０／０＝１ ？

記号の意味から考えると
　0/0 = 0 ÷ 0
となる。除算は逆数を掛けることだから
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
となる。逆数とは
　a × b = 1
となる場合に、b は a の逆数だと定義されてるから
　0 × 0/1 = 1
となる。よって
　0/0 = 0 × 1/0 = 1
である。

この証明が間違えているのは、どの部分でしょうか？

No.25 ベストアンサー 回答者： mitoneko 回答日時： 2014/02/23 10:18

　No.23です。

＞私は、既存の四則演算体系に 1/0 を添加できると言ってる訳ではありません。
＞もちろん、その方がいいから、色々と証明は提示しましたが。

　残念ながら、前段と後段では、別々の事を言ってますね。
　まず、前段。
　それが前提であれば、0/0 = 0 × 1/0 = 1　は、あなたが提示された数体系及び演算体系において真です。ちなみに、質問の証明も間違えている部分は無いでしょう。
　あくまで、あなたが提示された数体系においてのみ適用される定理です。
　これからも、あなたの数体系を豊かにはぐくんでください。
　以上終わりです。

　さて、後段になると、話が変わります。
　普通そうしたいですよね。自分の勝手な数体系においてのみなり立つ定理なんて、その数体系に汎用性が無ければ、おもしろくないですもの。
　そして、あなたのお礼の文書の最終段に繋がります。
＞私としては、既存の四則演算体系のどこと矛盾することになるのか、その点が知りたいですね。
　
　矛盾することは、私のNo.２３でも、簡単に立証しておきました。
　既存の有理数体Ｑにおいては、０の除算が定義不可能であることを別の面から、追っておきましょう。
　有理数体Ｑにおける加法の単位元０は、乗法において、特別な挙動を示します。

　つまり、、αを加法の単位源０にした時、Ｑ内の任意のｎにおいて、
　α×n = 0　　　・・・・　（１）
　となります。これは、明らかです。（これが明らかでない、又は、間違っている数体系であれば、この論議はここで終わりです。何でも、好きに定義して好きな定理にすればよろしい。しかし、既存の有理数体Ｑにおける乗算においては、これは真です。）

　さて、除算は、乗算の逆演算として定義されます。（除算が乗算の逆演算で無いと定義するなら、それは、有理数体Ｑの話ではありませんので、議論はここで終わり。この回答の前段に戻ります。）
　つまり、有理数体Ｑの除算の定義は、
　ｂ　÷　ａ　=　α と表記した時、
　ａ　×　α　＝　ｂ　を満たすαを求めることです。
　ここで、もし、ａが零であれば、（１）より、この定義式では、ｂは０以外の数はあり得ないし、その場合、アルファは、有理数Ｑの全ての要素において、式は成立します。
　これでは、除算が、意味をなしません。
　これが、有理数体Ｑにおいて、０割を排除する理由です。

　つまり、「既存の四則演算体系において、何が矛盾しているか」という質問に関しては、そもそも０割を定義しようとすることが矛盾しているとなります。
　除算の定義を書き換えれば、０割も定義できる除算も作れるかもしれませんが、少なくとも、それは、既存の四則演算体系ではありません。

　０割を定義した演算体系を作るなら、作れば良い。しかし、それは、有理数体Ｑを基礎とした、一般的な四則演算体系ではありません。もちろん、それを基礎とした全ての定理はもう一度再構築する必要があります。
　そうして作られた数学に例が無いわけではありません。例えば、ユークリッド幾何学の平行線の公準を否定して作られた非ユークリッド幾何学は、ちゃんと存在しますし、非常に豊かな体系です。でも、非ユークリッド幾何学を始めた人は、ちゃんと全ての定理を一から構築し直しています。
　そして、大事なことは、その場合、ユークリッド幾何学の世界での話をしているのか、非ユークリッド幾何学の世界での話をしているのかを明確にすることです。ユークリッド幾何学の話をしているふりをして、非ユークリッド幾何学の話を持ち込んではいけないと言うことです。
　

この回答へのお礼

> それが前提であれば、0/0 = 0 × 1/0 = 1　は、あなたが提示された数体系及び演算体系において真です。ちなみに、質問の証明も間違えている部分は無いでしょう。
> 　あくまで、あなたが提示された数体系においてのみ適用される定理です。

1/0 という記号を使うからには
　0 × 1/0 = 1
という式は真でなければならない。私はそう考えただけです。
（逆に、それが成立しない体系は、思い浮かべることができません）
それが成立する数体系は存在するだろうし、答える方も、それを前提に答えたのでは？

もし、既存の体系に 1/0 が存在すると勘違いされた方がいたのなら、説明不足を謝罪します。

> さて、除算は、乗算の逆演算として定義されます。

その場合、0 の逆数には
　a × 0 × 1/0 = a
が成立するという条件が必要となります。
　a × 0 = 0
なので、それは成立する筈もなく、逆演算とはなりません。
たとえ 0 に逆数が存在したとしても。
よって、質問文での
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
という変形が行えないことは分かりました。

では、０割が出てこない後半の
　0 × 1/0 = 1
は問題ありませんか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/23 13:30

No.30 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/24 09:43

>>何が揺るぐのか、証明が必要ですね。

>>大きいか小さいかは主観の問題ですし、∞は普通に使われています。

∞をあなたがおっしゃるようにした場合C（実数ではなく複素数）とリーマン球面が同相になります。


すると、ノンコンパクトなものとコンパンコトなものが同相になって同相によってコンパクト性が保証されないことになります。

> limxy=limxlimy

> が成立することが非自明なことです。

>>実数で、基本列（コーシー列）というものによって数を表す時、
>>積はそうやって定義されます。

それは、limx,limyが収束するとき、limxy=limx・limyと定めのであって、今考えているのは、limyが発散しているので、この状況下ではこの式は成り立たない。

この回答へのお礼

> すると、ノンコンパクトなものとコンパンコトなものが同相になって同相によってコンパクト性が保証されないことになります。

リーマン球面がコンパクトなのは知ってますし、実数がそうでないのも知ってます。
確かに両者が同相となるのは困りますが、それって証明できますか？

複素数に∞という要素を加えて、リーマン球面にすることはできますが、
その場合の∞とは、極限値を表すために作られた記号とは異なります。

　Σ[k=1,∞]i ≠ ∞　(i:虚数単位)
ですしね。リーマン球面で使ってる記号の場合は、＝で結ばれます。

> それは、limx,limyが収束するとき、limxy=limx・limyと定めのであって、今考えているのは、limyが発散しているので、この状況下ではこの式は成り立たない。

実数ではそう定めてある。だから、私もそれに倣いました、という話です。
どちらも定義だから、どちらも非自明だという点では同じです。
「決め付けることは無理がある」と言ってましたが、それは定義に矛盾がある時に言ってください。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/24 12:24

No.29 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/23 20:46

＞＞私は∞を実数の性質を持つもの、1/0を実数でないものとして扱っているので、問題無いと考えます。

そうでしょうか？

∞が実数の性質をもつとき、

C（複素数全体）とリーマン球面が同相になるというおかしなことが成立するのではないでしょうか？

そんなことになると今までの数学が揺るぐ大自体ですね。


＞＞正確には、成立するかもしれないし、しないかもしれない、ですね。
＞＞実数でないものに対しては、するかどうかも含めて、未定義でしょう。

だったら0×∞＝0と決め付けることは無理があるのではないでしょうか？

極限の計算では飛ばす前には0になるのかもしれませんが、そのとき

limxy=limxlimy

が成立することが非自明なことです。

この回答へのお礼

> C（複素数全体）とリーマン球面が同相になるというおかしなことが成立するのではないでしょうか？

実数に ∞ や -∞ を加えただけでは、リーマン球面にはなりません。
　-∞ = ∞
でなければ、閉じてないですからね。
それに、そもそも数じゃないですから、何も変わりません。
「１００以上の数」という言葉（＝記号）を作ったとしても、何も変わらないのと同じです。

> そんなことになると今までの数学が揺るぐ大自体ですね。

何が揺るぐのか、証明が必要ですね。
大きいか小さいかは主観の問題ですし、∞は普通に使われています。

> limxy=limxlimy

> が成立することが非自明なことです。

実数で、基本列（コーシー列）というものによって数を表す時、
積はそうやって定義されます。

非自明だとしてしまうと、演算は一切定義できません。
代わりに別の積の定義を提案するなら考えますが、何かありますか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/24 01:55

No.28 回答者： lx002PH 回答日時： 2014/02/23 14:28

少なくとも数学における除算の定義は25にある通り

ｂ÷ａ=α
と表記した時、αは
ａ×α＝ｂ
を満たす唯一の要素

です。あなたが書いた数学では除算とは呼ばない演算は、たとえば結合法則(少し弱くてもよい)や分配法則、組成法則が成り立つような都合のよい代数系ではたまたま除算と一致しますが、そのような法則を仮定しないそうですから、除算とは別物です。たとえば十六元数では
ｂ×ａ^-1≠ａ÷ｂ
であることが実際確かめられます。
加減乗算の他に四つ目の演算をもつ集合を創っただけなら、似たようなものは既にありますから、別に構わないと思います。

この回答へのお礼

なるほど。十六元数では
　x^-1 = 1/x
すら成立しないようですね。
それで、逆数は x^-1 で表す。

つまり、私が間違ったのは、逆数を分数で表したこと、なのかな？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/23 16:17

No.27 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/23 13:50

>それはともかく、0 の定義すら一致していない状態では、その上でのやり取りは無意味です。

>あなたは、0 について
・どんなものに掛けても答が 0 になるもの
・実数に掛けると 0 だが、例外が存在するもの
というどちらの考えをしてるのですか？

>両方を使い分けてるような気もします。

使い分けているのは質問者さんの方ではないでしょうか？

0×∞＝0←これはどんなものにかけても0というものを使っている

0×1/0＝1←これは例外が存在するものとして使っている

私は任意の実数aに対して

a×0＝0×a＝0

ですが、∞∈Rではないので∞については上式は成立しないです。

定義するのがお好きなようで、0とは非負整数の中で最小となるものとして定義されると思います。

この回答へのお礼

> 0×∞＝0←これはどんなものにかけても0というものを使っている
>
> 0×1/0＝1←これは例外が存在するものとして使っている

私は∞を実数の性質を持つもの、1/0を実数でないものとして扱っているので、問題無いと考えます。
0 < ∞ だけど 0 < 1/0 ではない、など。

> ∞∈Rではないので∞については上式は成立しないです。

正確には、成立するかもしれないし、しないかもしれない、ですね。
実数でないものに対しては、するかどうかも含めて、未定義でしょう。

> 0とは非負整数の中で最小となるものとして定義されると思います。

整数ですか。では
　lim[x→+0]x = 0
という定義はまずかったかもしれませんね。
これは、実数として考えてることになりますから。

整数で考えるなら、
　lim[x→∞]0 = 0
　lim[x→∞]x = ∞
となるのかな。積は
　lim[x,y→∞]0y = 0
と考えます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/23 15:46

No.26 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/23 11:17

あなたの誤字のせいであなたに注意されたのに誤りもしないんですか。

マナーを疑いますね。

０×∞＝0というのも成立しないから言ってるのに、ほかのところで質問してくださいとはどういうことですか？

あなたの好きな極限で考えると、

0×∞＝lim[x→+0]x/x＝lim[x→+0]1＝1

この式も合ってる気がするのですが・・・

∞を極限で考えるとか斬新すぎますが・・・

この回答へのお礼

> あなたの誤字のせいであなたに注意されたのに誤りもしないんですか。

すみませんでした。

> ０×∞＝0というのも成立しないから言ってるのに、ほかのところで質問してくださいとはどういうことですか？

「理由がわからない」のはあなたの事情ですから。

> あなたの好きな極限で考えると、
>
> 0×∞＝lim[x→+0]x/x＝lim[x→+0]1＝1

lim[x→+0]x = 0
lim[x→+0]1/x = ∞
だとしても、別々の式の変数を等しいとするのは疑問です。

それはともかく、0 の定義すら一致していない状態では、その上でのやり取りは無意味です。

あなたは、0 について
・どんなものに掛けても答が 0 になるもの
・実数に掛けると 0 だが、例外が存在するもの
というどちらの考えをしてるのですか？

両方を使い分けてるような気もします。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/23 12:32

No.24 回答者： uyama33 回答日時： 2014/02/22 22:55

記号の意味から考えると

　0/0
は、ｇ/ｈ　（ｇ、ｈ　は整数）
の形のものを沢山考えて、

ｇ/ｈ　と　ｐ/ｑ　で
ｇｑ-ｈｐ＝０
のときは、同じ類に属するとして類別する。

各類から代表を選んで加法、乗法などを考えてやると普通の分数が出来る。

たとえば、1/2　と　2/4　では、
1*4-2*2＝０
だから、同じ類に属する。よって　1/2　＝2/4　となる。

0/0　と　ｐ/ｑ　では
0*ｑ-0*ｐ＝０
なので、すべての分数が　0/0　と等しくなる。
よって、0/0＝2/1、0/0＝100/4589、0/0＝1/1、...
となる。
だから、0/0　の形の分数を普通に考えれば、0/0＝1　は正しい。
ただし、1/1＝1と考える場合です。

この回答へのお礼

0/0 を分数だとするなら、そうなるんでしょうね。
この場合は、0=1 だからあまり意味は無いでしょう。

分数との相性は悪そうですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/23 01:12

No.23 回答者： mitoneko 回答日時： 2014/02/22 21:24

　今回の場合は、既存の四則演算体系に、既存の四則演算体系では未定義となっている、０による除算（結果は、１）を定義しようとしています。

　新しい演算体系、新しい演算規則を「定義」する時には、その定義が、無矛盾であることを証明しなくては成りません。自分で勝手に好きな規則を定義することはできないのです。
　（高校の数学までの教科書では、好き勝手に定義を並べているように見えますが、全ての定義に、この証明はちゃんと存在します。well-definedで検索しても良いです。）

　この無矛盾の証明が無い限り、０による除算をすることそのものが間違いと言われて終わりになります。

　そして、この証明をすることはおそらく不可能。

　【手抜きの簡単な証明】
　０÷０を定義することができ、既存の四則演算体系を適用できると仮定する。（ここでは、０÷０の結果が何になるかは問いません。）
　【ここにあなたの質問文を入れます。】
　この結果、０＝１となり、（あなたの証明の最後の数式の中間が０×αですから、これは、０ですね。）これは、明らかに整数の大小に対して矛盾している。
　よって、０／０を定義することは出来ない。（又は、少なくとも、既存の四則演算体系を適用することはできない。）

　と、これでは納得できませんか？

この回答へのお礼

まだ、誤解があるようですね。
私は、既存の四則演算体系に 1/0 を添加できると言ってる訳ではありません。
もちろん、その方がいいから、色々と証明は提示しましたが。

1/0 というものの存在を許す体系である限り、
　0 × 1/0 = 1
だと言ってるだけですよ。

たとえば、集合{0,1}の積を次のように定義した時
*　0　1
0　1　0
1　0　1

1/0 = 0 となります。この時
　0 × 1/0 = 1
ですね。もちろん、0 = 1 とはなりません。
なお、1/0 ≠ 0 という条件が欲しければ、{0,1,1/0}という集合でも同様にできます。

私としては、既存の四則演算体系のどこと矛盾することになるのか、その点が知りたいですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/22 23:18

No.22 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/22 18:46

＞＞1/0 と ∞ は別ものです。

　lim[x→+0]1/x = ∞
　lim[x→-0]1/x = -∞
＞＞であり、
　0 × 1/0 = 1
＞＞で定義される値とは、まるで異なります。前者の定義からは
　0 × ∞ = lim[x→+0]0/x = 0
＞＞となるのは、明らかですから。

あれ、定義って言うてますけど？

あと、∞に大きさがあったんですね、初耳です。

０＜∞だったんですね。

あれ、でも∞×∞＝∞

０＜∞だから∞で割ると、∞＝１？あれおかしいですね。

あと0 × ∞ = lim[x→+0]0/x = 0
の部分が明らかである理由はまだわからないのですが・・・

この回答へのお礼

> あれ、定義って言うてますけど？

そうですね。誤字です。

> ０＜∞だったんですね。

> あれ、でも∞×∞＝∞

これは合ってます。
　lim[x→a]f(x) = ∞
　lim[y→a]g(y) = ∞
であれば
　lim[x,y→a]f(x)×g(y) = ∞
となります。

> ０＜∞だから∞で割ると、∞＝１？あれおかしいですね。

　lim[x,y→a]f(x)/g(y) = 1
ではありません。

> あと0 × ∞ = lim[x→+0]0/x = 0
> の部分が明らかである理由はまだわからないのですが・・・

わからないことは、自分で質問してください。
私にあなたが理解できるまで答える義務はありません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/22 20:22

No.21 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/22 15:20

＞＞1/0 と ∞ は別ものです。

　lim[x→+0]1/x = ∞
　lim[x→-0]1/x = -∞
＞＞であり、
　0 × 1/0 = 1
＞＞で定義される値とは、まるで異なります。前者の定義からは
　0 × ∞ = lim[x→+0]0/x = 0
＞＞となるのは、明らかですから。

どう明らかなのですか？0×∞というも計算不能なはずです。

全く明らかではありません。あなたが好きなようにまた新たに定義するんですか？

　lim[x→+0]1/x = ∞はそういうものであるというだけで∞がこの式から与えられるものではありません。

そもそも∞は概念であり数ではないので、あなたが1/0を新たな数として考えたように数として考えるのなら∞も新たな数として取り入れる必要があります。

大小の話はいつしましたか？確かに複素数などでは大小は成立しません。

∞にも大小はないですね、濃度はあるのかな？

この回答へのお礼

> 0×∞というも計算不能なはずです。

「はず」とはどういう意味ですか？
定義を示し、どういう場合に計算不能と思ってるのか説明してください。

> あなたが好きなようにまた新たに定義するんですか？

私は∞についての定義は示していません。極限値についての計算は示しましたが。

> lim[x→+0]1/x = ∞はそういうものであるというだけで∞がこの式から与えられるものではありません。

そうですね。繰り返しますが、定義ではありません。

> そもそも∞は概念であり数ではないので、あなたが1/0を新たな数として考えたように数として考えるのなら∞も新たな数として取り入れる必要があります。

単なる誤解ですね。

> ∞にも大小はないですね

概念としての∞には、どんな実数よりも大きいという大小関係が存在します。
∞と∞との関係であれば、あなたの言うように、大小はありません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/22 15:38